O que é o infinito mais três?

Isto leva-nos para o reino da aritmética transfinita. Há duas noções de "número": Número cardinal, que intuitivamente significa o número de itens de um conjunto, e número ordinal, que se refere à forma como os itens são ordenados. A segunda noção é mais granular no sentido de que dois conjuntos com números ordinais diferentes podem ter o mesmo número cardinal mas o inverso não é verdadeiro.

O menor número cardinal infinito, chamado aleph-nought (o aleph de letra hebraica com um subscrito zero, quem me dera saber escrevê-lo neste teclado) é usado para denotar o número de números naturais. Ou seja, aleph-nought é o número de números no conjunto { 1, 2, 3, ... }. A coisa surpreendente que Georg Cantor provou é que existem muitos números cardeais infinitos. O número de números reais é denotado por c, e Cantor provou que c > aleph-nought. O que significa "maior que"? Significa que você pode definir um mapeamento de 1-1 do conjunto menor para o conjunto maior, mas não vice-versa. Em certo sentido, não importa como você usa o conjunto menor para enumerar ou contar o conjunto maior, você nunca o esgota.

Então, uma resposta à sua pergunta é, aleph-nought + 3 = aleph-nought. Para ver isto, considere o conjunto { -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }. Você pode mapear este 1-1 para os números naturais, adicionando 3 a cada elemento. Cada elemento em ambos os conjuntos é contabilizado. E você pode mapear o outro caminho pegando um número natural e subtraindo 3.

A outra noção, número ordinal, adiciona ordem à mistura. Imagine que escrevemos todos os números naturais em seqüência, 1, 2, 3, ... Este é o menor conjunto ordinal infinito, e seu número ordinal é denotado com ômega minúsculo, ω. Agora imagine pegar esse conjunto e colar um novo elemento no final, 1, 2, 3, ..., ω. Este conjunto tem o número ordinal ω+1. Ele tem número cardinal aleph-nought, porque você pode definir uma correspondência 1-1 mapeando ω para 1, 1 para 2, 2 para 3, e assim por diante. Então os dois conjuntos têm o mesmo número cardinal, mas números ordinais diferentes.

Então, a outra resposta à sua pergunta é, ω+3 = ω+3. Não é tão surpreendente quanto a outra resposta, talvez. Ou seja, é o número ordinal do conjunto 1, 2, 3, ..., ω, ω+1, ω+2.