O que é melhor, 5 20% de chances ou uma chance de 80% de ganhar um jogo?

Partindo do princípio que você pode ganhar mais de uma vez no cenário em que você tem cinco chances e tudo o que lhe importa são os seus ganhos esperados, cinco chances de 20% é melhor.

Intuitivamente, isto é fácil de ver; o número esperado de vezes que você ganharia em média com uma chance de 20% de ganhar e cinco chances é uma vez. Com 80% de chances de ganhar e apenas uma chance, você só esperaria ganhar 0,8 vezes em média.

Para confirmar isso, podemos calcular formalmente os ganhos esperados para cada situação.

Deixe [matemática]x[/math] ser o pagamento por ganhar o jogo uma vez.

Seu ganho esperado com os 80% de chances de ganhar é trivial: [matemática]0,8x[/math].

Quando você tem cinco chances de 20% de ganhar, há seis possíveis pagamentos diferentes (0, [matemática]x[/math], [matemática]2x[/math], ... [matemática]5x[/math]), e a probabilidade de cada pagamento específico [matemática]kx[/math] é [matemática]\binom{5}{k}(0.2)^k(0.8)^{5-k}[/math].

Hence, a probabilidade de ganhar o pagamento [matemática]5x[/math] é [matemática](0.2)^5[/math]. A probabilidade de ganhar o pagamento [matemática]4x[/math] é [matemática]\binom{5}{4}(0.2)^4(0.8)[/math].

Continuando esta lógica, você pode ver que o pagamento esperado por jogar o jogo cinco vezes com uma chance de 20% de ganhar cada jogo é:

[matemática]5x(0.2)^5 + 4x\binom{5}{4}(0.2)^4(0.8) + 3x\binom{5}{3}(0.2)^3(0.8)^2 + 2x\binom{5}{2}(0.2)^2(0.8)^3 + x\binom{5}{1}(0.2)(0.8)^4[/math].

Esta situação funciona para ser igual a [matemática]x[/math], que é precisamente o pagamento esperado para uma situação em que você esperaria ganhar o jogo em média uma vez.

Note que na situação em que você tem cinco chances de 20%, há uma probabilidade [matemática](0.8)^5 = 32.768\%[/math] de você não ganhar nada, o que excede o único cenário de 80% de chances onde você tem apenas 20% de chances de ganhar nada. Se a sua prioridade é maximizar a probabilidade de ganhar pelo menos alguma coisa, então você favoreceria a situação de 80%. Esta também é a análise correta para quando você só pode ganhar uma vez, mas tem cinco tentativas para fazer isso.