Qual é a expansão binomial de [matemática](1+x) ^{-2}[/math]?

Para qualquer expansão [matemática] fixa [matemática] em C[/math], temos a expansão newtoniana

[matemática](1+x)^\alpha=1++alpha x+frac{\alpha(1+x)^\alpha=1+alpha x+frac{\alpha-1)^{2!x^2+frac (alfa(1+x)alfa-2)}{3!^x^3+\i1}dots[/math],

p>p>obtained by taking the Taylor series of [math](1+x)^\i}alpha[/math] centrered at the origin.

se [matemática]\a[/math] é um inteiro não negativo [matemática]n[/math], observe que o coeficiente de [matemática]x^k[/math] é [matemática]{n]k>n[/math] para [matemática]k]leqslant n[/math] e [matemática]0[/math] para [matemática]k>n[/math] (neste caso o numerador tem um fator de zero). Neste caso especial a série é o polinômio que é a expansão binomial familiar de [matemática](1+x)^n[/math].

No entanto, se [matemática]\alfa[/math] não for um inteiro não negativo ([matemática]\alfa[/math] poderia ser [matemática]-1[/math], ou [matemática]\frac 12[/math], ou mesmo [matemática]i[/math]), todos os coeficientes da série são não zero e o Teste de Relação mostra o raio de convergência a ser [matemática]1[/math]. Aqui estão alguns exemplos:

• Taking [matemática]\alfa=-1[/math], [matemática]\frac 1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\dots[/math]
• Taking [matemática]\alfa=\frac 12[/math], [matemática]{1+x}=1+frac 12x-frrac 18x^2+frac 1{16}x^3-frrac 5{128}x^4+frac 7{256}x^5-dots[/math]
• Taking [matemática]{\i[/math], [matemática](1+x)^i=1+ix-frase 12(1+i)x^2+esquerda(\frac 12+frac 16i) x^3-frase 5{12}x^4+esquerda(\frac 13-\{12}frac 1{12}i}right)x^5+{ /math]>li>Yet those only converge for [math]|x|<1[/math] (any maybe some [math]|x|=1[/math]).

Esta ideia pode ser utilizada de muitas maneiras:

1. Se [matemática]A[/math] é um comutativo [matemática]\mathbb Q[/math]-algebra, considere a série de potências anel [matemática]A[\![x]\!][/math]. Que [matemática]Z[/math] seja o conjunto de séries de potências com termo constante [matemática]0[/math] e [matemática]U[/math] o conjunto de séries de potências com termo constante [matemática]1[/math]. Então [matemática]Z[/math] é um grupo abeliano aditivo, e [matemática]U[/math] é um grupo abeliano multiplicativo. Há um fato interessante que para [matemática] um 0[/math] em [matemática] Z[/math], o mapa [matemática] f^n[/math] do [matemática] U[/math] (que é manifestamente um endomorfismo de grupo) é bijectivo. Sinta-se livre para tentar descobrir porque isto é assim.li>li>Usar isto pode inverter o automorfismo [matemática]f\mapsto f^n[/math] para obter [matemática]f\mapsto f^{1/n}[/math]. Compondo automorfismos, temos automorfismos [matemática]f^r[/math] em [matemática]U[/math] para qualquer [matemática]r]um 0[/math] em [matemática]{ /math] Q[/math].>li>Mais, temos um mapa exponencial [matemática]|exp:Z para U[/math] enviando [matemática]f=mapsto_{n=0}^^infty=frac{f^n}{n!E um mapa logarítmico [matemática], e um mapa logarítmico [matemática]. (Ambas as somas estão bem definidas porque [matemática]f^^ em Z[/math] e, portanto, cada coeficiente tem finitamente muitas somas não zeros). Pode ser mostrado que estes mapas são isomorfismos de grupo que são inversos uns dos outros. Além disso, para [matemática]r\mathbb Q[/math], [matemática]f^r=\exp(r\log f)[/math] para [matemática]f\matsu [matemática] U[/math].>li>li>Uma consequência fácil é que os coeficientes de [matemática](1+x)^r[/math] são polinômios em [matemática]r[/math]. Como estes coeficientes concordam com os coeficientes polinomiais da expansão newtoniana na infinitude de inteiros não negativos (a distributividade da multiplicação sobre adição se expande [matemática](1+x)^n,n\in\mathbb N[/math] facilmente), segue-se que os polinômios coincidem. Assim, para [matemática]r[/math] racional, [matemática](1+x)^r[/math] é a expansão newtoniana.

Num tópico não relacionado, a expansão newtoniana pode ser usada para provar [matemática]^lim_{n]^n^sim_esquerda(1+frac xn]^n=e^x[/math]. Afinal, nós temos

[matemática]|begin{alinhamento*} \esquerda(1+frac xn direita)^n&=1+n esquerda(n-1)+frac{n(n-1)}{2! esquerda(n-1)^2+frac{n(n-1)(n-2)}{3!esquerda(n-1)(n-2)^3+pontos &=1+frac nnx+frac nnfrac{n-1}nfrac{n-1}nfrac{x^2}{2!}+\frac nn\frac{n-1}n\frac{n-2}n\frac{x^3}{3!}+\dots\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac nn\frac{n-1}n\dots\frac{n-(k-1)}n\frac{x^k}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty 1\left(1-\frac 1n\right)\dots\left(1-\frac{k-1}n\right)\frac{x^k}{k!{\i1}; {\i1}end{\i}[/math]

p>As [math]nto{\i}infty[/math], since each coefficient keeps [math]k[/math] constant, the [math]1-frac an[/math] terms all converge to [math]1[/math] and hence disappearish as multiands, leading the series to [math]sum_{k=0}^infty{x^k}frac{k!}=e^x[/math].

Agora vamos cortar a digressão e responder à sua pergunta. Você queria encontrar [matemática](1+x)^{-2}[/math]. Esta é simplesmente a expansão newtoniana para [matemática] [matemática] [alfa=-2[/math], e neste caso [matemática] [matemática] [alfa(alfa-1)^k!^k(k-1)){k!}=frac{(-2)(-3)^dots(-1-k)}{k!}=(-1)^k(k+1)[/math]. Hence

[math](1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+\dots[/math]