Qual será a função analítica f(z) = u+iv se u=log√ (x²+y²)?

I'm gonna be supposing that [math]z=x+iy[/math], and that both [math]u[/math] and [math]v[/math] are functions from some subset of [math]R^2[/math] to [math]\R[/math].

Dado que [matemática]u(x,y)={x^2+y^2})[/math], queremos encontrar [matemática]v(x,y)[/math] tal que [matemática]f[/math] seja analítica.

Um resultado principal da análise complexa é que as funções holomórficas e analíticas são praticamente equivalentes. Outro resultado é que uma função [matemática]f=u+iv[/math] é holomórfica se e somente se ambas [matemática]u[/math] e [matemática]v[/math] são real-diferenciáveis e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:

[matemática]|frac {\an1}{\an1}{\an1}{\an1}frac {\an1}[/math]

[matemática]{\an1}frac {\an1}{\an1}{\an1}{\an1}{\an1}}frac {\an1}{\an1}{\an1}{\an1}por outras palavras, estamos procurando uma função [matemática]v(x,y)[/math] que satisfaça estas equações.

Vamos primeiro computar [matemática] a matemática [matemática] e [matemática] a matemática [matemática] a matemática [matemática] a matemática [matemática] a matemática [matemática] a matemática [matemática]:

[matemática]|frac {\an8}{\an8}{\an8}{\an8}[x^2+y^2}}frac 1{\an8}{\an8}{\an8}[x^2+y^2}}}2x=frac{x}{x^2+y^2}[/math]

Analogamente:

[matemática]|frac{\an8}{\an8}{\an8}{x^2+y^2}[/math]

>Do primeiro C.R. queremos [matemática]v[/math] para satisfazer:

[matemática]|frac {\an8}{\an8}{\an8}{\an8}[/math]

[matemática]|frac{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}[/math]

[matemática]v(x,y)=int \frac{x}{x^2+y^2}dy[/math]

Esta é uma integral bastante comum, pode ser resolvida com a substituição [matemática]w=x\tan(y)[/math]. A partir disto obtemos:

[matemática]v(x,y)=\arctan(\frac yx)+C(x)[/math]

Where [math]C(x)[/math] is some function of [math]x[/math] (in other words, a constant for [math]y[/math]).

Deixemos agora diferenciar esta expressão com respeito a [matemática]x[/math] (faz sentido que [matemática]C(x)[/math] seja diferenciável, já que queremos que [matemática]v[/math] seja também):

[matemática]|frac{\i}{\i1}{1+(\i}{x})^2}cdot -frac{\i}{x^2}+C'(x)[/math]

[matemática]|quad}!=--\frac{y}{x^2+y^2}+C'(x)[/math]

Mas a partir do segundo C.R. equação:

[matemática]|frac{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{x^2+y^2}[/math]

[matemática]{\an8}}implica C'(x)=0[/math]

[math]\implica C(x)=c[/math]

onde [matemática]c[/math] é uma constante.

Então [matemática]v(x,y)=\arctan(\frac yx)+c[/math], que é de facto diferenciável em todo o plano complexo excepto para a linha real, e você pode verificar que ele satifica o C.R. equations.

Desde que a adição de uma constante não afeta a diferenciabilidade, e ela desaparecerá ao computar derivadas parciais, qualquer valor de [matemática]c[/math] dará uma resposta válida.

In conclusion:

[math]f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i(\arctan(\frac yx)+c)[/math]