Qual é a distância mais curta entre as duas equações 3x+4y+10=0 e 3x + 4y+20=0?

As equações são duas linhas paralelas, portanto a distância mais curta será o comprimento de uma linha perpendicular necessária para intersectar as duas linhas. Vamos fazer uma linha perpendicular, encontrar os pontos que intersecta cada linha e depois usar a fórmula de distância para encontrar o comprimento.

[matemática] \begin{cases} y_1(x) = -\frac{3}{4}x - \frac{5}{2} \\ y_2(x) = -frac{3}{4}x - 5 {cases} [/math]

A linha perpendicular terá uma inclinação da recíproca negativa das duas inclinações das duas linhas. Let [math] y_p = \frac{4}{3}x [/math].

Encontramos a intersecção com a primeira linha.

[math] y_p = y_1 = \frac{4}{3}x = -\frac{3}{4}x - \frac{5}{2} [/math]

[matemática] {25}{12}x = -frac{5}{2} \rightarrow -frac{6}{5} [/math]

[matematica] y_p}left(-frac{6}{5}{5}right) = |frac{4}{3} -frac{6}{5} = -frac{8}{5} [/math]

O cruzamento com a primeira linha está à [matemática] [-frac{6}{5}, -frac{8] [5], -frac{8] [5] direita] [/math]. Agora encontramos a intersecção com a segunda linha.

[matemática] y_p = y_2 = \frac{4}{3}x = -\frac{3}{4}x - 5 [/math]

[matemática] \frac{25}{12}x = -5 \rightarrow x = -\frac{12}{5} [/math]

[matematica] y_p}left(-frac{12}{5}{5}{direita) = |frac{4}{3} * -frac{12}{5} = -frac{16}{5} [/math]

A intersecção com a segunda linha está à [matemática] [-frac{12}{5}, -frac{16}{5}{5] direita) [/math] [/math]. Agora usamos a fórmula de distância [matemática] D = ^sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. [/math].

[matemática] D = ^sqrt{\i1}{ -frac{12}{5} + ^frac{6}{5}{5}{direita)^2 + esquerda(-frac{16}{5} + ^frac{8}{5}{5}direita)^2} = ^sqrt{36}{25} +frac{64}{25}} [/math]

[matemática] D = 2 [/math]