Como calcular a área de uma cúpula

Assumindo que a cúpula tem forma esférica (é parte de uma esfera) então sua área de superfície é

π(r^2 + h^2)

onde r = raio base e h = altura.

Note os casos especiais:

(1) Se h = 0 então a "cúpula" é apenas um disco circular cuja área de superfície é a familiar πr^2.

(2) Se h = r então a área de superfície é π(r^2 + r^2) = 2πr^2. É um hemisfério cuja área é apenas metade da superfície da esfera correspondente, ou metade de 4πr^2.

(3) A fórmula funciona mesmo se r = 0. (Aqui quero dizer que o raio da base é zero, ou seja, é um ponto.) Neste caso a "cúpula" é uma esfera cuja superfície é πh^2 = π(2r)^2 = 4πr^2. (Aqui quero dizer o raio da esfera.)

Agora o que é realmente interessante é que a área de superfície de uma cúpula é a mesma de um disco circular cujo raio é igual à distância do vértice da cúpula a qualquer ponto da sua circunferência. I would love to see a geometric proof of this.

I have edited this answer slightly for clarity.