Porque é que o campo magnético obedece a uma lei do cubo invertido?

Porque todas as fontes magnéticas são uma forma de multipolos. Todos os campos magnéticos estáticos (isto é, que não mudam no tempo) são de dipolos.

O campo de gota de um monopolo (isto é, carga) segue uma lei quadrada inversa, de acordo com a simetria 3-d. O campo de um dipolo pode ser derivado de um par de monopolos iguais mas com carga oposta, espaçados a uma certa distância D um do outro.

>br>A partir da lei do quadrado inverso, e assumindo que as cargas são colocadas D/2 longe da origem e alinhadas no eixo z, e consideramos apenas os campos no eixo z (por simplicidade, embora isto funcione correctamente para campos em todas as direcções, eu apenas não'não quero derivar tudo aqui), começamos por utilizar o princípio da sobreposição:

B = k * q / (z + D/2)^2 - k * q / (z - D/2)^2

Let's simplify that sum of fractions by giving them a common base:

B = k*q [ (z - D/2)^2 - (z + D/2)^2 ] / [(z+D/2)^2 * (z-D/2)^2]

Now expand the squares
B = k*q [ (z^2 - Dz + D^2/4) - (z^2 + Dz + D^2/4)] / [(z^2 + Dz + D^2/4) * (z^2 - Dz + D^2/4)]

B = 2kqDz / [D^4/16+z^2 (z^2-D^2/2)]

For large z >> D, this reduces to approximately
B = 2kqDz / z^4

further reducing to
B = 2kqD / z^3

There's your inverse cube law.

Update: Also, we roll together qD as the "dipole moment" M.