Qual é a derivada de #tanh (x) #?

A derivada é: #1-tanh^2(x)#

As funções hiperbólicas funcionam da mesma maneira que os primos trigonométricos "normais", mas em vez de se referir a um círculo unitário (por #sin, cos and tan#) eles se referem a um conjunto de hipérboles.

(Fonte da imagem: Physicsforums.com)

Você pode escrever:
#tanh(x)=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^-x)#

Agora é possível derivar usando a regra do quociente e o fato de que:
derivado de #e^x# is #e^x# e
derivado de #e^-x# is #-e^-x#

Então você tem:
#d/dxtanh(x)=[(e^x+e^-x)(e^x+e^-x)-(e^x-e^-x)(e^x-e^-x)]/(e^x+e^-x)^2#
#=1-((e^x-e^-x)^2)/(e^x+e^-x)^2=1-tanh^2(x)#