Qual é a derivada de x ^ n ?

Para a função f(x)=x^n, n deveria não igual a 0, por razões que ficarão claras. n também deve ser um número inteiro ou um número racional (ou seja, uma fração).

A regra é:
f(x) = x^n => f'(x) = nx^(n-1)

Em outras palavras, "emprestamos" a potência de x e a tornamos o coeficiente da derivada e, em seguida, subtraímos a 1 da potência.

f(x) = x^2 => f'(x) = 2x^1
f(x) = x^7 => f'(x) = 7x^6
f(x) = x^(1/2) => f'(x) = 1/2*x^(-1/2)

Como mencionei, o caso especial é onde n = 0. Isso significa que
f(x)=x^0=1
Podemos usar nossa regra e tecnicamente obtenha a resposta certa:
f'(x) = 0x^-1=0
No entanto, mais adiante, teremos complicações quando tentarmos usar o inverso dessa regra.