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Qual é a diferença entre 'máximo relativo (ou mínimo)' e 'máximo absoluto (ou mínimo)' em funções?

Um máximo ou mínimo relativo ocorre em pontos de viragem na curva onde, como mínimo e máximo absoluto, são os valores apropriados em todo o domínio da função.

Em outras palavras, o mínimo e o máximo absolutos são limitados pelo domínio da função.

Exemplo:

Considere a função:

# y=x^4-8x^3+22x^2-24x #

Podemos encontrar os mínimos e máximos relativos (pontos de virada) procurando coordenadas onde a primeira derivada desaparece:

# dy/dx = 4x^3 -24x^2+44x-24 #

O derivado desaparece quando #dy/dx=0#, ou seja, quando

# 4x^3 -24x^2+44x-24 = 0 #
# => x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 #
# => (x-1)(x-2)(x-3) = 0 #
# => x=1,2,3 #

E para determinar a natureza dos pontos de virada, consideramos a segunda derivada:

# (d^2y)/(dx^2) = 12x^2 -48x+44 #
# (1,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min#
# (2,-8) => (d^2y)/(dx^2) lt 0 => max#
# (3,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min#

E podemos traçar o gráfico para verificar nossas descobertas
graph{y=x^4-8x^3+22x^2-24x [-3, 6, -11, 5]}

Então nós temos:

  • Mínimo relativo de #-9# ocorrendo em #x=1,3#
  • Máximo relativo de #-8# ocorrendo em #x=2#

Em todo o domínio à medida que nos aproximamos #x=+-oo# a função aumenta sem limite. Subseqüentemente:

  • O mínimo absoluto também é o mínimo local, ou seja, #-9#
  • O máximo absoluto é ilimitado, ou seja, #oo#