Qual é a diferença entre 'máximo relativo (ou mínimo)' e 'máximo absoluto (ou mínimo)' em funções?

Um máximo ou mínimo relativo ocorre em pontos de viragem na curva onde, como mínimo e máximo absoluto, são os valores apropriados em todo o domínio da função.

Em outras palavras, o mínimo e o máximo absolutos são limitados pelo domínio da função.

Exemplo:

Considere a função:

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 22 x^{2} - 24 x$ $y=x^4-8x^3+22x^2-24x$

Podemos encontrar os mínimos e máximos relativos (pontos de virada) procurando coordenadas onde a primeira derivada desaparece:

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$ $dy/dx = 4x^3 -24x^2+44x-24$

O derivado desaparece quando $\frac{d y}{d x} = 0$ $dy/dx=0$ , ou seja, quando

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 = 0$ $4x^3 -24x^2+44x-24 = 0$
$\Rightarrow x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ $=> x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$
$\Rightarrow (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0$ $=> (x-1)(x-2)(x-3) = 0$
$\Rightarrow x = 1, 2, 3$ $=> x=1,2,3$

E para determinar a natureza dos pontos de virada, consideramos a segunda derivada:

$\frac{d^{2} y}{{d x}^{2}} = 12 x^{2} - 48 x + 44$ $(d^2y)/(dx^2) = 12x^2 -48x+44$
$(1,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min$
$(2,-8) => (d^2y)/(dx^2) lt 0 => max$
$(3,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min$

E podemos traçar o gráfico para verificar nossas descobertas
graph{y=x^4-8x^3+22x^2-24x [-3, 6, -11, 5]}

Então nós temos:

Mínimo relativo de $-9$ ocorrendo em $x=1,3$
Máximo relativo de $-8$ ocorrendo em $x=2$

Em todo o domínio à medida que nos aproximamos $x=+-oo$ a função aumenta sem limite. Subseqüentemente:

O mínimo absoluto também é o mínimo local, ou seja, $-9$
O máximo absoluto é ilimitado, ou seja, $oo$