Qual é a diferença entre 'máximo relativo (ou mínimo)' e 'máximo absoluto (ou mínimo)' em funções?

Um máximo ou mínimo relativo ocorre em pontos de viragem na curva onde, como mínimo e máximo absoluto, são os valores apropriados em todo o domínio da função.

Em outras palavras, o mínimo e o máximo absolutos são limitados pelo domínio da função.

Exemplo:

Considere a função:

y=x^4-8x^3+22x^2-24x y=x48x3+22x224x

Podemos encontrar os mínimos e máximos relativos (pontos de virada) procurando coordenadas onde a primeira derivada desaparece:

dy/dx = 4x^3 -24x^2+44x-24 dydx=4x324x2+44x24

O derivado desaparece quando dy/dx=0dydx=0, ou seja, quando

4x^3 -24x^2+44x-24 = 0 4x324x2+44x24=0
=> x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 x36x2+11x6=0
=> (x-1)(x-2)(x-3) = 0 (x1)(x2)(x3)=0
=> x=1,2,3 x=1,2,3

E para determinar a natureza dos pontos de virada, consideramos a segunda derivada:

(d^2y)/(dx^2) = 12x^2 -48x+44 d2ydx2=12x248x+44
(1,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min
(2,-8) => (d^2y)/(dx^2) lt 0 => max
(3,-9) => (d^2y)/(dx^2) gt 0 => min

E podemos traçar o gráfico para verificar nossas descobertas
graph{y=x^4-8x^3+22x^2-24x [-3, 6, -11, 5]}

Então nós temos:

  • Mínimo relativo de -9 ocorrendo em x=1,3
  • Máximo relativo de -8 ocorrendo em x=2

Em todo o domínio à medida que nos aproximamos x=+-oo a função aumenta sem limite. Subseqüentemente:

  • O mínimo absoluto também é o mínimo local, ou seja, -9
  • O máximo absoluto é ilimitado, ou seja, oo