Qual é a expansão da série taylor para a função tangente (tanx)?

A série Maclaurin é dada por

# f(x) = f(0) + (f'(0))/(1!)x + (f''(0))/(2!)x^2 + (f'''(0))/(3!)x^3 + ... (f^((n))(0))/(n!)x^n + ...#

Começamos com a função

# f^((0))(x) = f(x) = tanx #

Em seguida, calculamos os primeiros derivados:

# = sec^2(x) #

# f^((2))(x) = (2 sec^2x)(secx tanx)() #
# = 2 sec^2x tanx #
# = 2 (1+tan^2x) tanx #
# = 2 (tanx+tan^3x) #

# f^((3))(x) = 2{sec^2x+3tan^2x sec^2x} #
# = 2sec^2x{1+3tan^2x} #
# = 2sec^2x{1+3(sec^2x-1)} #
# = 2sec^2x{1+3sec^2x-3} #
# = 6sec^4x-4sec^2x #

# vdots #

Agora temos os derivativos, podemos calcular seus valores quando #x=0#

# f^((0))(x) = 0 #
# f^((1))(x) = 1 #
# f^((2))(x) = 0 #
# f^((3))(x) = 2 #
# vdots #

O que nos permite formar a série Maclaurin:

# f(x) = (0) + (1)/(1)x + (0)/(2)x^2 + (2)/(6)x^3 + ... (f^((n))(0))/(n!)x^n + ...#

# = x + 1/3x^3 + 2/15^5x^5 + ... #