Qual é a inclinação da linha tangente ao gráfico de # y = ln (x / 2) # em x = 4?

Primeiro, encontre o ponto que a linha tangente interceptará conectando #x=4#.

#y=ln(4/2)=ln(2)#

O ponto de tangência é #(4,ln(2))#.

Diferenciando #y# será mais simples se usarmos a seguinte regra de logaritmo:

#ln(a/b)=ln(a)-ln(b)#

Assim, podemos redefinir a função como

#y=ln(x)-ln(2)#

Quando diferenciamos isso, lembre-se de que #ln(2)# é uma constante e pode ser ignorado. Assim, a derivada de #y# é equivalente a apenas a derivada de #ln(x)#, Que é #1"/"x#.

#y'=1/x#

A inclinação da linha tangente é igual ao valor da derivada quando #x=4#, Que é

#y'=1/4#

Sabemos que a linha tangente tem uma inclinação #1"/"4# e passa pelo ponto #(4,ln(2))#. Estes podem ser relacionados como uma linha na forma de ponto-inclinação:

#y-ln(2)=1/4(x-4)#

Que pode ser reescrito como

#y=1/4x-1+ln(2)#

Representam graficamente a função e sua linha tangente:

graph{(y-ln(x/2))(y-ln(2)-(x-4)/4)=0 [-2.48, 13.32, -4.53, 3.37]}