Qual é a inclinação da linha tangente ao gráfico de `y = ln (x / 2)` em x = 4?

Primeiro, encontre o ponto que a linha tangente interceptará conectando `x=4`.

`y=ln(4/2)=ln(2)`

O ponto de tangência é `(4,ln(2))`.

Diferenciando `y` será mais simples se usarmos a seguinte regra de logaritmo:

`ln(a/b)=ln(a)-ln(b)`

Assim, podemos redefinir a função como

`y=ln(x)-ln(2)`

Quando diferenciamos isso, lembre-se de que `ln(2)` é uma constante e pode ser ignorado. Assim, a derivada de `y` é equivalente a apenas a derivada de `ln(x)`, Que é `1"/"x`.

`y'=1/x`

A inclinação da linha tangente é igual ao valor da derivada quando `x=4`, Que é

`y'=1/4`

Sabemos que a linha tangente tem uma inclinação `1"/"4` e passa pelo ponto `(4,ln(2))`. Estes podem ser relacionados como uma linha na forma de ponto-inclinação:

`y-ln(2)=1/4(x-4)`

Que pode ser reescrito como

`y=1/4x-1+ln(2)`

Representam graficamente a função e sua linha tangente:

graph{(y-ln(x/2))(y-ln(2)-(x-4)/4)=0 [-2.48, 13.32, -4.53, 3.37]}