Qual é a raiz quadrada de -49?

Raiz quadrada de um número #n# é um número #x# de tal modo que #x^2 = n#

Note que se #x# é um número real então #x^2 >= 0#.

Portanto, qualquer raiz quadrada de #-49# não é um número real.

Para poder obter raízes quadradas de números negativos, precisamos de números complexos.

É aí que o número misterioso #i# entra em jogo. Isso é chamado de unidade imaginária e possui a propriedade:

#i^2 = -1#

So #i# é uma raiz quadrada de #-1#. Observe que #-i# também é uma raiz quadrada de #-1#, Desde a:

#(-i)^2 = (-1*i)^2 = (-1)^2*i^2 = 1*(-1) = -1#

Então encontramos:

#(7i)^2 = 7^2*i^2 = 49*(-1) = -49#

So #7i# é uma raiz quadrada de #-49#. Observe que #-7i# também é uma raiz quadrada de #-49#.

O que queremos dizer com o raiz quadrada de #-49#

Para valores positivos de #n#, o raiz quadrada é geralmente entendida como a raiz quadrada principal #sqrt(n)#, que é o positivo.

Para valores negativos de #n#, as raízes quadradas são múltiplos de #i#, portanto, nem positivo nem negativo, mas podemos definir:

#sqrt(n) = i sqrt(-n)#

Com essa definição, a principal raiz quadrada de #-49# é:

#sqrt(-49) = i sqrt(49) = 7i#

#color(white)()#
Nota de rodapé

A questão permanece: onde é que #i# vem de onde?

É possível definir números complexos formalmente, como pares de números reais com regras para aritmética como esta:

#(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)#

#(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ab+cd)#

Estas regras para adição e multiplicação trabalha como esperado com comutatividade, distributividade, etc.

Então números reais são apenas números complexos do formulário #(a, 0)# e encontramos:

#(0, 1)*(0, 1) = (-1, 0)#

Isto é #(0, 1)# é uma raiz quadrada de #(-1, 0)#

Então podemos definir #i = (0, 1)# e:

#(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+bi#