Qual é a raiz quadrada de -49?

$\sqrt{- 49} = 7 i$ $sqrt(-49) = 7i$

Raiz quadrada de um número $n$ $n$ é um número $x$ $x$ de tal modo que $x^{2} = n$ $x^2 = n$

Note que se $x$ $x$ é um número real então $x^{2} \geq 0$ $x^2 >= 0$ .

Portanto, qualquer raiz quadrada de $- 49$ $-49$ não é um número real.

Para poder obter raízes quadradas de números negativos, precisamos de números complexos.

É aí que o número misterioso $i$ $i$ entra em jogo. Isso é chamado de unidade imaginária e possui a propriedade:

$i^{2} = - 1$ $i^2 = -1$

So $i$ $i$ é uma raiz quadrada de $- 1$ $-1$ . Observe que $- i$ $-i$ também é uma raiz quadrada de $- 1$ $-1$ , Desde a:

${(- i)}^{2} = {(- 1 \cdot i)}^{2} = {(- 1)}^{2} \cdot i^{2} = 1 \cdot (- 1) = - 1$ $(-i)^2 = (-1*i)^2 = (-1)^2*i^2 = 1*(-1) = -1$

Então encontramos:

${(7 i)}^{2} = 7^{2} \cdot i^{2} = 49 \cdot (- 1) = - 49$ $(7i)^2 = 7^2*i^2 = 49*(-1) = -49$

So $7 i$ $7i$ é uma raiz quadrada de $- 49$ $-49$ . Observe que $- 7 i$ $-7i$ também é uma raiz quadrada de $- 49$ $-49$ .

O que queremos dizer com o raiz quadrada de $- 49$ $-49$

Para valores positivos de $n$ $n$ , o raiz quadrada é geralmente entendida como a raiz quadrada principal $\sqrt{n}$ $sqrt(n)$ , que é o positivo.

Para valores negativos de $n$ $n$ , as raízes quadradas são múltiplos de $i$ $i$ , portanto, nem positivo nem negativo, mas podemos definir:

$\sqrt{n} = i \sqrt{- n}$ $sqrt(n) = i sqrt(-n)$

Com essa definição, a principal raiz quadrada de $- 49$ $-49$ é:

$\sqrt{- 49} = i \sqrt{49} = 7 i$ $sqrt(-49) = i sqrt(49) = 7i$

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Nota de rodapé

A questão permanece: onde é que $i$ $i$ vem de onde?

É possível definir números complexos formalmente, como pares de números reais com regras para aritmética como esta:

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ $(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)$

$(a, b) \cdot (c, d) = (a c - b d, a b + c d)$ $(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ab+cd)$

Estas regras para adição e multiplicação trabalha como esperado com comutatividade, distributividade, etc.

Então números reais são apenas números complexos do formulário $(a, 0)$ $(a, 0)$ e encontramos:

$(0, 1) \cdot (0, 1) = (- 1, 0)$ $(0, 1)*(0, 1) = (-1, 0)$

Isto é $(0, 1)$ $(0, 1)$ é uma raiz quadrada de $(- 1, 0)$ $(-1, 0)$

Então podemos definir $i = (0, 1)$ $i = (0, 1)$ e:

$(a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = a + b i$ $(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+bi$