Qual é a regra de Cramer?

Regra de Cramer.
Esta regra é baseada na manipulação de determinantes das matrizes associadas aos coeficientes numéricos do seu sistema.

Você apenas escolhe a variável que deseja resolver, substitui a coluna de valores dessa variável no determinante do coeficiente pelos valores da coluna de resposta, avalia esse determinante e divide pelo determinante do coeficiente.

Ele trabalha com sistemas com um número de equações igual ao número de incógnitas. Ele também funciona bem em sistemas de equações 3 em desconhecidos 3. Mais do que isso e você terá melhores chances usando métodos de redução (formulário escalão de linha).

Considere um exemplo:

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(NOTA: se $det(A)=0$ você não pode usar a regra do Cramer e seu sistema não terá uma solução exclusiva).

Agora, consideramos o 3 outras matrizes, $A_x, A_y and A_z$ e seu determinante. Essas matrizes são obtidas substituindo cada coluna de $A$ com os valores da coluna de resposta (os que não são desconhecidos):

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Avaliamos os três determinantes para essas matrizes:

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Finalmente, podemos calcular os valores das incógnitas como:

$x=det(A_x)/(det(A))=(-60)/-60=1$
$y=det(A_y)/(det(A))=(-240)/-60=4$
$z=det(A_z)/(det(A))=(120)/-60=-2$

Seu resultado final é:
$x=1$
$y=4$
$z=-2$