Qual é a relação entre a forma retangular de números complexos e sua forma polar correspondente?

A forma retangular de uma forma complexa é dada em termos dos números reais 2 aeb na forma: z = a + jb
A forma polar do mesmo número é dada em termos de magnitude r (ou comprimento) e argumento q (ou ângulo) na forma: z = r | _q
Você pode "ver" um número complexo em um desenho desta maneira:

Nesse caso, os números aeb tornam-se as coordenadas de um ponto que representa o número complexo no plano especial (Argand-Gauss), onde no eixo x você plota a parte real (o número a) e no eixo y o imaginário ( o número b, associado a j).
Na forma polar, você encontra o mesmo ponto, mas usando a magnitude re argumento q:

Agora, a relação entre retangular e polar é encontrada unindo as representações gráficas 2 e considerando o triângulo obtido:

Os relacionamentos são:
1) Teorema de Pitagora (para vincular o comprimento r com aeb):
#r=sqrt(a^2+b^2)#
2) Funções trigonométricas inversas (para vincular o ângulo q com aeb):
#q=arctan(b/a)#

Sugiro tentar vários números complexos (em diferentes quadrantes) para ver como esses relacionamentos funcionam.