Qual é o intervalo de uma matriz?

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Veja abaixo

Explicação:

Um conjunto de vetores ocupa um espaço se todos os outros vetores no espaço puderem ser escritos como uma combinação linear do conjunto de abrangência. Mas, para entender o significado disso, precisamos olhar para a matriz como feita de vetores de coluna.

Aqui está um exemplo em $mathcal R^2$ :

Deixe nossa matriz $M = ((1,2),(3,5))$

Isso possui vetores de coluna: $((1),(3))$ e $((2),(5))$ , que são linearmente independentes, então a matriz é não singular invertível etc etc.

Digamos que queremos mostrar que o ponto generalizado $(x,y)$ está dentro do intervalo desses vetores 2, ou seja, para que a matriz abranja todos os $mathcal R^2$ , então procuramos resolver isso:

$alpha ((1),(3)) + beta ((2),(5)) = ((x),(y))$

Ou:

$((1,2),(3,5)) ((alpha),(beta))= ((x),(y))$

Você pode resolver isso de várias maneiras, por exemplo, reduzir linha ou inverter M ..... para obter:

$alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y$

Então, digamos que queremos verificar se $(2,3)$ está no intervalo dessa matriz, M, aplicamos o resultado que obtivemos:

$alpha = -4$
$beta = 3$

Dupla verificação:

$-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))$ !!

Considere a seguir uma matriz diferente: $M' = ((1,2),(2,4))$ . Isto é singular porque seus vetores de coluna, $((1),(2))$ e $((2),(4))$ , são linearmente dependentes. Essa matriz abrange apenas a direção $((1),(2))$ .