Qual é o log natural de # -0.9 #?

Observe que o logaritmo natural deve ser o inverso da função exponencial #e^x#. Portanto, a resposta para a nossa pergunta é uma solução de:

#e^x = -0.9#

Note, porém, que #e^x > 0# para todos os valores reais de #x#.

Portanto, não há valor real de #x# que é candidato ao logaritmo natural.

A função exponencial #e^x# é aplicável a números complexos, para que possamos procurar soluções complexas de #e^x = -0.9#.

Observe que a identidade de Euler nos diz que:

#e^(ipi) + 1 = 0#

Então encontramos:

#e^(ipi + ln 0.9) = e^(ipi) * e^(ln 0.9) = -1 * 0.9 = -0.9#

De fato, o valor principal do logaritmo natural complexo de #-0.9# is #ln 0.9 + i pi#.

"Valor principal"?

Qualquer número do formulário #x = ln 0.9 + (2k+1)pii# (com #k# um inteiro) irá satisfazer #e^x = -0.9#.

Por convenção, o valor principal de #ln (r e^(i theta))# is #ln r + i theta# para #theta in (-pi, pi]#.

Para encontrar o valor de #ln 0.9# podemos usar:

#ln (1+t) = t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+...#

Assim:

#ln (1-t) = t+t^2/2+t^3/3+t^4/4+...#

e:

#ln (0.9) = ln (1-0.1) = -(0.1+0.01/2+0.001/3+0.0001/4+...)#

#~~ -0.10536#

Assim:

#ln (-0.9) = ln (-0.9) + ipi ~~ -0.10536+ipi#