Seja f (x) = xln (x). O valor mínimo atingido por f é?

Responda:

$f(1/e)=-1/e$

Explicação:

Pegue a primeira derivada, determine para quais valores de $x$ é igual a zero.

$f'(x)=x/x+lnx$

$f'(x)=1+lnx$

$1+lnx=0$

$lnx=-1$

$e^lnx=e^-1$

$x=1/e$

Agora calcule $f(1/e).$

$f(1/e)=1/eln(1/e)=-1/e$

Além disso, calcule a segunda derivada.

$f''(x)=1/x$

Agora, o Segundo Teste Derivativo nos diz se $x=a$ é um ponto crítico, podemos tomar $f''(a).$ If $f''(a)>0, x=a$ é um mínimo, se $f''(a)<0, x=a$ é o máximo. Aqui, $a=1/e$

$f''(1/e)=1/(1/e)=e>0$

Então, o valor mínimo está nas coordenadas $(1/e, -1/e)$ , o próprio valor é $f(1/e)=-1/e$