Seja f (x) = xln (x). O valor mínimo atingido por f é?

Pegue a primeira derivada, determine para quais valores de #x# é igual a zero.

#f'(x)=x/x+lnx#

#f'(x)=1+lnx#

#1+lnx=0#

#lnx=-1#

#e^lnx=e^-1#

#x=1/e#

Agora calcule #f(1/e).#

#f(1/e)=1/eln(1/e)=-1/e#

Além disso, calcule a segunda derivada.

#f''(x)=1/x#

Agora, o Segundo Teste Derivativo nos diz se #x=a# é um ponto crítico, podemos tomar #f''(a).# If #f''(a)>0, x=a# é um mínimo, se #f''(a)<0, x=a# é o máximo. Aqui, #a=1/e#

#f''(1/e)=1/(1/e)=e>0#

Então, o valor mínimo está nas coordenadas #(1/e, -1/e)#, o próprio valor é #f(1/e)=-1/e#