Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a ​​partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?

Para resolver esse problema de taxas relacionadas (de mudança):

Deixei #y# = a altura do balão e deixe #theta# = o ângulo de elevação.
Dizem-nos que #(dy)/(dt)=8# ft / seg.
Somos solicitados a encontrar #(d theta)/(dt)# quando #y=25# ft.

Desenhe um triângulo retângulo com base = 60 ft (que não muda), altura #y# e ângulo altura oposta #theta#.

Então # tan theta = y/60# e #y=60 tan theta#.

Diferenciando em relação a #t# nos dá:

#d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)#.

#(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#.

Somos solicitados a encontrar #(d theta)/(dt)# quando #y=25#.

Nós temos: #8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#, assim

#(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 theta#.

Precisamos #cos theta# quando #y=25#.
Com base = 60 e altura = 25, temos hipotenusa #c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65#.

Então quando #y=25#, temos: #cos theta = 60/65=12/13#.

So
#(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845# radianos / s

.
(Lembre-se, para usar #d/(d theta)(tan theta) = sec^2 theta#, nós devemos ter #theta# um número real ou a medida do ângulo em radiano (e não em grau).)

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