Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?
Para resolver esse problema de taxas relacionadas (de mudança):
Deixei yy = a altura do balão e deixe thetaθ = o ângulo de elevação.
Dizem-nos que (dy)/(dt)=8dydt=8 ft / seg.
Somos solicitados a encontrar (d theta)/(dt)dθdt quando y=25y=25 ft.
Desenhe um triângulo retângulo com base = 60 ft (que não muda), altura yy e ângulo altura oposta thetaθ.
Então tan theta = y/60tanθ=y60 e y=60 tan thetay=60tanθ.
Diferenciando em relação a tt nos dá:
d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)ddt(y)=ddt(60tanθ).
(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)dydt=60sec2θdθdt.
Somos solicitados a encontrar (d theta)/(dt)dθdt quando y=25y=25.
Nós temos: 8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)8=60sec2θdθdt, assim
(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 thetadθdt=860cos2θ=215cos2θ.
Precisamos cos thetacosθ quando y=25y=25.
Com base = 60 e altura = 25, temos hipotenusa c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65c=√602+252=√(5⋅12)2+(5⋅5)2=5√(12)2+(5)2=5⋅13=65.
Então quando y=25y=25, temos: cos theta = 60/65=12/13cosθ=6065=1213.
So
(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845dθdt=215cos2θ=215(1213)2=96845 radianos / s
.
(Lembre-se, para usar d/(d theta)(tan theta) = sec^2 thetaddθ(tanθ)=sec2θ, nós devemos ter thetaθ um número real ou a medida do ângulo em radiano (e não em grau).)