Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?

Para resolver esse problema de taxas relacionadas (de mudança):

Deixei $y$ $y$ = a altura do balão e deixe $θ$ $theta$ = o ângulo de elevação.
Dizem-nos que $\frac{d y}{d t} = 8$ $(dy)/(dt)=8$ ft / seg.
Somos solicitados a encontrar $\frac{d θ}{d t}$ $(d theta)/(dt)$ quando $y = 25$ $y=25$ ft.

Desenhe um triângulo retângulo com base = 60 ft (que não muda), altura $y$ $y$ e ângulo altura oposta $θ$ $theta$ .

Então $tan θ = \frac{y}{60}$ $tan theta = y/60$ e $y = 60 tan θ$ $y=60 tan theta$ .

Diferenciando em relação a $t$ $t$ nos dá:

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (60 tan θ)$ $d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)$ .

$\frac{d y}{d t} = 60 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t}$ $(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)$ .

Somos solicitados a encontrar $\frac{d θ}{d t}$ $(d theta)/(dt)$ quando $y = 25$ $y=25$ .

Nós temos: $8 = 60 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t}$ $8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)$ , assim

$\frac{d θ}{d t} = \frac{8}{60} {cos}^{2} θ = \frac{2}{15} {cos}^{2} θ$ $(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 theta$ .

Precisamos $cos θ$ $cos theta$ quando $y = 25$ $y=25$ .
Com base = 60 e altura = 25, temos hipotenusa $c = \sqrt{60^{2} + 25^{2}} = \sqrt{{(5 \cdot 12)}^{2} + {(5 \cdot 5)}^{2}} = 5 \sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}} = 5 \cdot 13 = 65$ $c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65$ .

Então quando $y = 25$ $y=25$ , temos: $cos θ = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}$ $cos theta = 60/65=12/13$ .

So
$\frac{d θ}{d t} = \frac{2}{15} {cos}^{2} θ = \frac{2}{15} {(\frac{12}{13})}^{2} = \frac{96}{845}$ $(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845$ radianos / s

.
(Lembre-se, para usar $\frac{d}{d θ} (tan θ) = {sec}^{2} θ$ $d/(d theta)(tan theta) = sec^2 theta$ , nós devemos ter $θ$ $theta$ um número real ou a medida do ângulo em radiano (e não em grau).)

Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a ​​partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?

Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?