Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?
Para resolver esse problema de taxas relacionadas (de mudança):
Deixei y = a altura do balão e deixe θ = o ângulo de elevação.
Dizem-nos que dydt=8 ft / seg.
Somos solicitados a encontrar dθdt quando y=25 ft.
Desenhe um triângulo retângulo com base = 60 ft (que não muda), altura y e ângulo altura oposta θ.
Então tanθ=y60 e y=60tanθ.
Diferenciando em relação a t nos dá:
ddt(y)=ddt(60tanθ).
dydt=60sec2θdθdt.
Somos solicitados a encontrar dθdt quando y=25.
Nós temos: 8=60sec2θdθdt, assim
dθdt=860cos2θ=215cos2θ.
Precisamos cosθ quando y=25.
Com base = 60 e altura = 25, temos hipotenusa c=√602+252=√(5⋅12)2+(5⋅5)2=5√(12)2+(5)2=5⋅13=65.
Então quando y=25, temos: cosθ=6065=1213.
So
dθdt=215cos2θ=215(1213)2=96845 radianos / s
.
(Lembre-se, para usar ddθ(tanθ)=sec2θ, nós devemos ter θ um número real ou a medida do ângulo em radiano (e não em grau).)