Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a ​​partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?

Para resolver esse problema de taxas relacionadas (de mudança):

Deixei yy = a altura do balão e deixe thetaθ = o ângulo de elevação.
Dizem-nos que (dy)/(dt)=8dydt=8 ft / seg.
Somos solicitados a encontrar (d theta)/(dt)dθdt quando y=25y=25 ft.

Desenhe um triângulo retângulo com base = 60 ft (que não muda), altura yy e ângulo altura oposta thetaθ.

Então tan theta = y/60tanθ=y60 e y=60 tan thetay=60tanθ.

Diferenciando em relação a tt nos dá:

d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)ddt(y)=ddt(60tanθ).

(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)dydt=60sec2θdθdt.

Somos solicitados a encontrar (d theta)/(dt)dθdt quando y=25y=25.

Nós temos: 8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)8=60sec2θdθdt, assim

(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 thetadθdt=860cos2θ=215cos2θ.

Precisamos cos thetacosθ quando y=25y=25.
Com base = 60 e altura = 25, temos hipotenusa c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65c=602+252=(512)2+(55)2=5(12)2+(5)2=513=65.

Então quando y=25y=25, temos: cos theta = 60/65=12/13cosθ=6065=1213.

So
(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845dθdt=215cos2θ=215(1213)2=96845 radianos / s

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(Lembre-se, para usar d/(d theta)(tan theta) = sec^2 thetaddθ(tanθ)=sec2θ, nós devemos ter thetaθ um número real ou a medida do ângulo em radiano (e não em grau).)