Um balão sobe à velocidade de 8 pés / s a ​​partir de um ponto no solo 60 pés do observador. Como você encontra a taxa de variação do ângulo de elevação quando o balão está 25 ft acima do solo?

Para resolver esse problema de taxas relacionadas (de mudança):

Deixei y = a altura do balão e deixe θ = o ângulo de elevação.
Dizem-nos que dydt=8 ft / seg.
Somos solicitados a encontrar dθdt quando y=25 ft.

Desenhe um triângulo retângulo com base = 60 ft (que não muda), altura y e ângulo altura oposta θ.

Então tanθ=y60 e y=60tanθ.

Diferenciando em relação a t nos dá:

ddt(y)=ddt(60tanθ).

dydt=60sec2θdθdt.

Somos solicitados a encontrar dθdt quando y=25.

Nós temos: 8=60sec2θdθdt, assim

dθdt=860cos2θ=215cos2θ.

Precisamos cosθ quando y=25.
Com base = 60 e altura = 25, temos hipotenusa c=602+252=(512)2+(55)2=5(12)2+(5)2=513=65.

Então quando y=25, temos: cosθ=6065=1213.

So
dθdt=215cos2θ=215(1213)2=96845 radianos / s

.
(Lembre-se, para usar ddθ(tanθ)=sec2θ, nós devemos ter θ um número real ou a medida do ângulo em radiano (e não em grau).)