Um cilindro direito está inscrito em uma esfera de raio r. Como você encontra o maior volume possível desse cilindro?

Existem várias etapas para esse problema de otimização.

1.) Encontre a equação para o volume de um cilindro inscrito em uma esfera.
2.) Encontre a derivada da equação de volume.
3.) Defina a derivada igual a zero e resolva para identificar os pontos críticos.
4.) Conecte os pontos críticos na equação do volume para encontrar o volume máximo.

O melhor lugar para começar é desenhando um diagrama. A figura abaixo mostra o cilindro inscrito na esfera. Dada a altura, #h#, podemos encontrar o raio do cilindro em termos de #r# usando o teorema de Pitágoras.

Observe que #h# refere-se a metade da altura total do cilindro. Eu escolhi usar #h# em vez de #h/2# para simplificar as coisas mais tarde.

Para encontrar o volume do nosso cilindro, precisamos multiplicar a área do topo pela altura total do cilindro. Em outras palavras;

#V= pi ("radius of cylinder")^2 ("height of cylinder")#

#V = pi (sqrt(r^2-h^2))^2(2h)#

#V = 2 pi h (r^2-h^2)#

Esta é a nossa função de volume. Em seguida, pegamos a derivada da função de volume e a definimos como zero. Se movermos o #h# dentro dos parênteses, só precisamos usar o regra de poder para obter a derivada.

#V=2 pi (r^2h-h^3)#

#d/(dx) V(h) = 2 pi (r^2-3h^2) = 0#

O #2pi# divide e ficamos;

#r^2-3h^2 = 0#

Depois de alguma reorganização;

#h^2 = r^2/3#

Pegue a raiz quadrada de ambos os lados.

#h = r/sqrt3#

Esta é a nossa altura otimizada. Para encontrar o volume otimizado, precisamos conectá-lo à função de volume.

#V=2 pi h(r^2-h^2)=2 pi (r/sqrt3)(r^2-(r/sqrt3)^2)#

Simplificar.

#V=(2 pi r)/sqrt3(r^2-r^2/3)#

#V=(2 pi r)/sqrt3((3r^2-r^2)/3)#

#V=(2 pi r)/sqrt3((2r^2)/3)#

#V=(4 pi r^3)/(3sqrt3)#

#V=(4 sqrt3 pi r^3)/9#

Este é o volume otimizado para o cilindro. É um bom cheque perceber que #V# é em termos de #r^3# já que o volume deve ter unidades cúbicas. Em outras palavras, se nosso raio fosse dado em metros, nossas unidades de volume seriam #"m"^3#