Um retângulo é inscrito com sua base no eixo xe seus cantos superiores na parábola y = 12 - x ^ 2. Quais são as dimensões de um retângulo com a maior área possível?

Responda:

A maior área ocorre quando o retângulo tem uma largura de 4 e uma altura de 8, levando a uma área máxima de 32

Explicação:

insira a fonte da imagem aqui

Vamos configurar as seguintes variáveis:

${(P(x,y), "coordinate of the right hand corner"), (A, "Area of Rectangle") :}$

$P$ encontra-se na parábola e $y=12-x^2$ , assim $P=P(x,12-x^2)$

Devido à simetria A largura do retângulo é metade da distância entre P e o eixo y, ou seja,

Width = $2x$ and Height= $y$

Portanto, a área do retângulo é:

$A = Wdith xx Height$
$:. A = 2xy$
$:. A = 2x(12-x^2)$
$:. A = 24x-2x^3)$ ..... [1]

Somos solicitados a maximizar a Área como $x$ mudanças para que possamos identificar um ponto crítico de $A$ associado a um máximo, então precisamos encontrar $(dA)/dx$

Diferenciando [1] wrt $x$
$:. (dA)/dx = 24-6x^2$ ..... [2]

Em um ponto crítico, $(dA)/dx = 0$

$:. 24-6x^2 = 0$
$:. 6x^2 = 24$
$:. x^2 = 4$
$:. x = +-2$

Obviamente $x$ deve ser positivo (caso contrário, temos um retângulo imaginário com área negativa para uma caixa que se desmoronou em si mesma)

$:. x = 2$

Precisamos verificar se isso é máximo ou mínimo, para diferenciar [2] wrt $x$ para obter;

$:. (d^2A)/dx^2 = -12x$
$:. (d^2A)/dx^2 = -12x < 0 " when " x=2$ , confirming a max

Quando $x=2$ temos:

Width = $2*2 = 4$
Height = $12-4=8$
Area = $32$