Um retângulo é inscrito com sua base no eixo xe seus cantos superiores na parábola y = 12 - x ^ 2. Quais são as dimensões de um retângulo com a maior área possível?
Responda:
A maior área ocorre quando o retângulo tem uma largura de 4 e uma altura de 8, levando a uma área máxima de 32
Explicação:
Vamos configurar as seguintes variáveis:
# {(P(x,y), "coordinate of the right hand corner"), (A, "Area of Rectangle") :} #
#P# encontra-se na parábola e #y=12-x^2#, assim #P=P(x,12-x^2)#
Devido à simetria A largura do retângulo é metade da distância entre P e o eixo y, ou seja,
Width = #2x# and Height=#y#
Portanto, a área do retângulo é:
# A = Wdith xx Height #
# :. A = 2xy #
# :. A = 2x(12-x^2) #
# :. A = 24x-2x^3) # ..... [1]
Somos solicitados a maximizar a Área como #x# mudanças para que possamos identificar um ponto crítico de #A# associado a um máximo, então precisamos encontrar #(dA)/dx#
Diferenciando [1] wrt #x#
# :. (dA)/dx = 24-6x^2 # ..... [2]
Em um ponto crítico, # (dA)/dx = 0 #
# :. 24-6x^2 = 0#
# :. 6x^2 = 24#
# :. x^2 = 4#
# :. x = +-2#
Obviamente #x# deve ser positivo (caso contrário, temos um retângulo imaginário com área negativa para uma caixa que se desmoronou em si mesma)
# :. x = 2#
Precisamos verificar se isso é máximo ou mínimo, para diferenciar [2] wrt #x# para obter;
# :. (d^2A)/dx^2 = -12x #
# :. (d^2A)/dx^2 = -12x < 0 " when " x=2#, confirming a max
Quando #x=2# temos:
Width = #2*2 = 4#
Height = #12-4=8#
Area = #32#