Uma torta é removida de um forno a 375 ° F e esfria a 215 ° F após 15 minutos em uma sala a 72 ° F. Quanto tempo (a partir do momento em que é removido do forno) leva a torta para esfriar a 72 ° F?

Lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento de um objeto é inversamente proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e seus arredores #(dT)/(dt)=-kT#, Onde #t# é o tempo gasto e #T# é a diferença de temperatura entre o objeto e seu ambiente.

Isso nos dá #T# como a função de #t# e é dado por #T(t)=ce^(-kt)#.

Com isso, levará um tempo infinito para o objeto esfriar até a temperatura ambiente, quando #T(t)=0#. Ainda vamos assumir que ele esfria para #72.5^oF# ou menos, que é arredondável para #72^oF# e trabalha para fora.

Agora como #T(0)=ce^(-kxx0)=c=375-72=303# e

#T(15)=303xxe^(-15k)=375^oF-215^oF=160^oF# or #e^(-15k)=160/303#

e #-15k=ln(160/303)=-0.638559# or #k=0.638559/15=0.0425706#

Se a torta esfriar para #72.5^oF# in #t# minutos, então

#303e^(-0.0425706xxt)=0.5# or #e^(-0.0425706xxt)=0.5/303=0.00165017#

or #-0.0425706t=ln0.00165017=-6.40688#

or #t=6.40688/0.0425706=150.5#

Portanto, levará pelo menos #150.5# minutos para esfriar para fechar #72^oF#