Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação corretas com seis casas decimais. 3 cos (x) = x + 1?
Responda:
x=0.889470,-1.862365,-3.637958 x=0.889470,−1.862365,−3.637958
Explicação:
Nós temos:
3cosx=x+1 3cosx=x+1
Deixei:
f(x) = 3cosx-x-1 f(x)=3cosx−x−1
Nosso objetivo é resolver f(x)=0f(x)=0. Primeiro vamos ver o gráfico:
gráfico {3cosx-x-1 [-10, 10, -5, 10]}
Para encontrar uma solução numericamente, usando o método Newton-Rhapson, usamos a seguinte sequência iterativa
{ (x_1,=x_0), ( x_(n+1), = x_n - f(x_n)/(f'(x_n)) ) :} {x1=x0xn+1=xn−f(xn)f'(xn)
Portanto, precisamos da derivada:
f'(x) = -3sinx-1
Podemos ver no gráfico que existem três soluções. A raiz que encontrarmos dependerá de nossa aproximação inicial x_0, e esse valor exigirá um pouco de tentativa e erro.
Em seguida, usando o excel trabalhando no 8dp, podemos tabular as iterações da seguinte maneira:
Valor inicial: x_0 = 1
Valor inicial: x_0 = -1
Valor inicial: x_0 = -3
Poderíamos igualmente usar uma calculadora gráfica científica moderna, pois a maioria das novas calculadoras tem um " Ans "botão que permite que o último resultado calculado seja usado como entrada de uma expressão iterada.
E iterando até obtermos convergência, concluímos que a solução (para 8dp) é:
x=0.88947041,-1.86236493,-3.63795797
Então, arredondando para 6dp temos
x=0.889470,-1.862365,-3.637958