Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação corretas com seis casas decimais. 3 cos (x) = x + 1?

Responda:

x=0.889470,-1.862365,-3.637958 x=0.889470,1.862365,3.637958

Explicação:

Nós temos:

3cosx=x+1 3cosx=x+1

Deixei:

f(x) = 3cosx-x-1 f(x)=3cosxx1

Nosso objetivo é resolver f(x)=0f(x)=0. Primeiro vamos ver o gráfico:
gráfico {3cosx-x-1 [-10, 10, -5, 10]}

Para encontrar uma solução numericamente, usando o método Newton-Rhapson, usamos a seguinte sequência iterativa

{ (x_1,=x_0), ( x_(n+1), = x_n - f(x_n)/(f'(x_n)) ) :} {x1=x0xn+1=xnf(xn)f'(xn)

Portanto, precisamos da derivada:

f'(x) = -3sinx-1

Podemos ver no gráfico que existem três soluções. A raiz que encontrarmos dependerá de nossa aproximação inicial x_0, e esse valor exigirá um pouco de tentativa e erro.

Em seguida, usando o excel trabalhando no 8dp, podemos tabular as iterações da seguinte maneira:

Valor inicial: x_0 = 1

insira a fonte da imagem aqui

Valor inicial: x_0 = -1

insira a fonte da imagem aqui

Valor inicial: x_0 = -3

insira a fonte da imagem aqui

Poderíamos igualmente usar uma calculadora gráfica científica moderna, pois a maioria das novas calculadoras tem um " Ans "botão que permite que o último resultado calculado seja usado como entrada de uma expressão iterada.

E iterando até obtermos convergência, concluímos que a solução (para 8dp) é:

x=0.88947041,-1.86236493,-3.63795797

Então, arredondando para 6dp temos

x=0.889470,-1.862365,-3.637958