Como você simplifica #sin (arcsinx + arccosx) #?

Podemos oferecer duas abordagens para esse problema - usando trigonometria de triângulos retângulos (aplicável a #x#) e puramente trigonométrico (aplicável a todos #x#, mas vamos usá-lo para #x<=0#.

Vamos analisar esse problema a partir da posição da trigonometria do triângulo retângulo. Para isso, vamos assumir que #0<x<=1#.

Então #/_A=arcsin x# é um ângulo de #0# para #pi/2#, seu dos quais é #x#.
Suponha que esse ângulo #/_A# é um ângulo agudo de um triângulo retângulo #Delta ABC#. Assim, #sin(/_A)# é uma razão de um cateto oposto #a# hipotenusa #c#:
#x=sin(/_A)=a/c#

Considere outro ângulo agudo desse triângulo - #/_B#.
Expressão #a/c# representa sua co-seno.
Portanto,
#/_B = arccos(a/c)=arccos x#

Agora vemos isso #/_A=arcsin x# e #/_B=arccose x# Existem dois ângulos agudos em um triângulo retângulo. A soma deles é sempre #pi/2#.
Portanto,
#sin(arcsin x+arccos x)=sin(pi/2)=1#

Caso com não positivo #x# vamos considerar de forma diferente.

If #x <= 0#, #arcsin x# situa-se entre #-pi/2# e #0#.

If #x <= 0#, #arccos x# situa-se entre #pi/2# e #pi#.

Usando a fórmula para #sin# de uma soma de dois ângulos,
#sin(arcsin x+arccos x) =#
#= sin(arcsin x)*cos(arccosx) + cos(arcsin x)*sin(arccos y)#

Por definição de funções trigonométricas inversas #arcsin# e #arccos#, escrevemos o seguinte:
#sin(arcsin x)=x#
#cos(arccos x)=x#

Usando identidade trigonométrica #sin^2(phi)+cos^2(phi)=1#, podemos encontrar os outros componentes:
#cos^2(arcsin x) = 1-sin^2(arcsinx) = 1-x^2#
#sin^2(arccos x) = 1-cos^2(arccos x) = 1-x^2#

Desde #arcsin x# situa-se entre #-pi/2# e #0#, as TIC cosseno é positivo:
#cos^2(arcsin x) = 1-x^2#
#=>cos(arcsin x) sqrt(1-x^2)#

Desde #arccos x# situa-se entre #pi/2# e #pi#, as TIC seu é positivo:
#sin^2(arccos x) = 1-x^2#
#=>sin(arccos x) sqrt(1-x^2)#

Agora podemos calcular o valor da expressão original:
#sin(arcsin x+arccos x) =#
#= sin(arcsin x)*cos(arccosx) + cos(arcsin x)*sin(arccos y) =#
#= x*x+sqrt(1-x^2)*sqrt(1-x^2) =#
#= x^2 +1 -x^2 = 1#
(como no caso, fizemos geometricamente).