Como você simplifica # 1 / (1 + sin x) + 1 / (1-sin x) #?

Digamos que sua expressão se chame #E#.

Primeiro, multiplique a primeira fração por #"1-sinx"# e o segundo por #"1+sinx"#

#E = (1-sinx)/((1+sinx) * (1-sinx)) + (1+sinx)/((1+sinx) * (1-sinx))#

#E = (1 cancel(-sinx) + 1 cancel(+sinx))/((1+sinx) * (1-sinx)) = 2/((1+sinx) * (1-sinx))#

Use a identidade algébrica #a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)#. No seu caso,

#a = 1# e
#b = sinx#

Como resultado, a expressão que serve como denominador se tornará

#(1+sinx) * (1-sinx) = 1^(2) - (sinx)^(2) = 1 -sin^2x#

Portanto, #E# será

#E = 2/(1 -sin^2x)#

Lembre-se que #1 - sin^2x = cos^2x#, então a forma final de #E# será

#E = color(green)(2/cos^2x)#