Encontre uma função vetorial, #r (t) #, que represente a curva de interseção das duas superfícies. O cilindro # x ^ 2 + y ^ 2 = 81 # e a superfície #z = xy #?

Não sei ao certo o que você quer dizer com função vetorial. Mas entendo que você procura representar a curva de interseção entre as duas superfícies na declaração da pergunta.

Como o cilindro é simétrico em torno do #z# eixo, pode ser mais fácil expressar a curva em coordenadas cilíndricas.

Mude para coordenadas cilíndricas:
#x = r costheta#
#y = r sintheta#
#z = z#.
#r# é a distância do #z# eixo e #theta# é o ângulo anti-horário da #x# eixo no #x,y# avião.

Então a primeira superfície se torna
#x^2 + y^2 = 81#
#r^2cos^2theta + r^2sin^2theta = 81#
#r^2=81#
#r=9#,
por causa da identidade trigonométrica pitagórica.

A segunda superfície se torna
#z = xy#
#z = rcostheta rsintheta#
#z= r^2sinthetacostheta#.
Aprendemos pela equação da primeira superfície que a curva de interseção deve estar a uma distância ao quadrado #r^2=81# desde a primeira superfície, dando
#z = 81 sintheta cos theta#,
#z = (81/2) sin2theta#,
uma curva parametrizada por #theta#. O último passo é uma identidade trigonométrica e é feito apenas por preferência pessoal.

A partir dessa expressão, vemos que a curva é de fato uma curva, pois possui um grau de liberdade.

Ao todo, podemos escrever a curva como
#(z,r) = ((81/2) sin2theta, 9)#,
que é uma função com valor vetorial de uma única variável #theta#.