Como é derivada a equação de colisão elástica?

Em todas as interações colisionais, o momento permanece conservado. As colisões são chamadas colisões elásticas se, além da conservação do momento, a cinética energia permanecer conservado também. Para derivar as equações de colisão elástica, usamos o Conservação do Momento condição e Conservação de Energia Cinética condição.

#m_1# - Massa do objeto 1; #qquad# #m_2# - Massa do objeto 2;
#v_{1i}# - velocidade do objeto 1 antes da colisão;
#v_{2i}# - velocidade do objeto 2 antes da colisão;
#v_{1f}# - velocidade do objeto 1 após colisão;
#v_{2f}# - velocidade do objeto 2 após colisão;

Conservação do Momento:
#m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}#

Reorganize isso trazendo todas as térmicas com #m_1# de um lado e termos com #m_2# por outro lado,
#m_1(v_{1i}-v_{1f})=m_2(v_{2f}-v_{2i})# ............... ( 1 )

#frac{m_1(v_{1i}-v_{1f})}{m_2(v_{2f}-v_{2i})} = 1# ........... ( 2 )

Conservação de Energia Cinética:
#1/2 m_1v_{1i}^2+1/2m_2v_{2i}^2=1/2 m_1 v_{1f}^2+1/2m_2v_{2f}^2#

Reorganize isso trazendo todas as térmicas com #m_1# de um lado e termos com #m_2# por outro lado, e cancele o fator comum de '1 / 2',

#m_1(v_{1i}^2-v_{1f}^2)=m_2(v_{2f}^2-v_{2i}^2)#
#m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f}) = m_2(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})#
#frac{m_1(v_{1i}-v_{1f})}{m_2(v_{2f}-v_{2i})}.(v_{1i}+v_{1f}) = (v_{2f}+v_{2i})#,

Reconheça que o primeiro termo no LHS é apenas '1' [Equação ( 2 )]
#v_{1i}+v_{1f} = v_{2i}+v_{2f}# ..................... ( 3a )

#v_{2f} = v_{1i}+v_{1f}-v_{2i}# .................... ( 3b )

Equação Substituta ( 3b ) na equação ( 1 ) para eliminar #v_{2f}#

#m_1(v_{1i}-v_{1f}) = m_2((v_{1i}+v_{1f}-v_{2i})-v_{2i})#

Reorganize isso e resolva #v_{1f}#:

#v_{1f} = (frac{m_1-m_2}{m_1+m_2})v_{1i}+(frac{2m_2}{m_1+m_2})v_{2i}# ......... ( 4 )

Equação Substituta ( 4 ) na equação ( 3b ) e reorganize os termos para obter #v_{2f}# as

#v_{2f} = (frac{2m_1}{m_1+m_2}) v_{1i} + (frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}) v_{2i}# ......... ( 5 )