Como você encontra um vetor unitário perpendicular a um plano 3-D formado por pontos (1,01), (0,2,2) e (3,3,0)?

Nossa estratégia será encontrar dois vetores no plano, pegar seu produto cruzado para encontrar um vetor perpendicular a ambos (e, portanto, ao plano) e depois dividir esse vetor por sua medida para torná-lo um vetor unitário.

Passo 1) Encontre dois vetores no avião.

Faremos isso encontrando o vetor de #(1,0,1)# para #(0,2,2)# ea partir #(1,0,1)# para #(3,3,0)#. Como todos os três pontos estão no plano, cada um desses vetores também.

#vec(v_1) = (0,2,2)-(1,0,1) = (-1,2,1)#

#vec(v_2) = (3,3,0)-(1,0,1)=(2,3,-1)#

Passo 2) Encontre um vetor perpendicular ao plano.

Se um vetor é perpendicular a dois vetores em um plano, deve ser perpendicular ao próprio plano. Como o produto cruzado de dois vetores produz um vetor perpendicular a ambos, usaremos o produto cruzado de #vec(v_1)# e #vec(v_2)# para encontrar um vetor #vec(u)# perpendicular ao plano que os contém.

#vec(u) = vec(v_1)xxvec(v_2)#

#= |(hat(i), hat(j), hat(k)), (-1, 2, 1), (2, 3, -1)|#

#=(2(-1)-1(3))hat(i)-((-1)(-1)-(1)(2))hat(j)+((-1)(3)-(2)(2))hat(k)#

#=-5hat(i)+hat(j)-7hat(k)#

#=(-5, 1, -7)#

Passo 3) torre #vec(u)# em um vetor de unidade.

Um vetor unitário é um vetor cuja medida é #1#. Usando o fato de que para qualquer vetor #vec(v)# e escalar #c#, temos #||cvec(v)|| = c||vec(v)||#, Nós vamos encontrar #||vec(u)|| = u#e divida por #u#.

#||vec(u)/u|| = ||vec(u)||/u = u/u = 1#

Como a multiplicação por um escalar não altera a direção de um vetor, este será um vetor unitário perpendicular ao plano. Processo,

#||vec(u)|| = sqrt((-5)^2+1^2+(-7)^2) = sqrt(75)=5sqrt(3)#

Assim, nosso resultado final é

#vec(u)/u = ((-5","1","-7))/(5sqrt(3)) = (-1/sqrt(3), 1/(5sqrt(3)), -7/(5sqrt(3)))#