Como você encontra o comprimento da curva # y = sqrt (xx ^ 2) + arcsin (sqrt (x)) #?

O comprimento do arco de uma curva contínua de #a# para #b# É dado por #int_a^b sqrt(1+ (dy/dx)^2)#. Vamos começar calculando a derivada.

#y' = (1 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)) + 1/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (1 - 2x + 1)/(2sqrt(x- x^2))#

#y' = (2 - 2x)/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (2(1 - x))/(2sqrt(x - x^2)#

#y' = (1 - x)/sqrt(x(1 - x))#

Agora vamos encontrar os pontos finais da função #y#. A função #y = arcsinx# tem domínio #{x|-1 ≤ x ≤ 1, x in RR}#. No entanto, como o valor na raiz quadrada precisa ser positivo, #y = arcsinsqrt(x)# tem domínio #{x| 0 ≤ x ≤ 1, x in RR}#.

A segunda parte da função, #y = sqrt(x - x^2)#, tem o mesmo domínio que #y = arcsinsqrt(x)#. Assim, podemos concluir que nossos limites de integração serão de #0# para #1#. Chame o comprimento do arco #A#.

#A = int_0^1 sqrt(1 + ((1 - x)/sqrt(x(1 - x)))^2)dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)^2/(x(1 - x)))dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)/x) dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - x/x)dx#

#A = int_0^1 sqrt(1 + 1/x - 1)dx#

#A = int_0^1 sqrt(x^-1)#

#A = int_0^1 (x^-1)^(1/2)#

#A = int_0^1 x^(-1/2)#

#A = [2x^(1/2)]_0^1#

#A = 2(1)^(1/2) - 2(0)^(1/2)#

#A = 2#

Espero que isso ajude!