A água está vazando de um tanque cônico invertido à taxa de 10,000cm ^ 3 / min cm / min ao mesmo tempo em que a água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem uma altura de 6m e o diâmetro na parte superior é 4m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 cm / min quando a altura da água é 2m, como posso encontrar a taxa na qual a água está sendo bombeada para o tanque.?

Comece ignorando o vazamento e determine a taxa de entrada necessária para atingir a taxa especificada de altura (profundidade) do aumento da água.

Mais tarde, usaremos o fato de que
Taxa de entrada real
= Taxa de entrada para aumento da profundidade + taxa de vazamento

Para o cone dado, a razão de r adeus a h oito é #1/3#

so
#r = 1/3 h#

A fórmula para o volume de um cone:
#V = (pi r^2 h)/3# torna-se #V = (pi h^3)/(27)#

#(d V)/(dh) = (pi h^2)/9#

Estamos interessados ​​na mudança de volume em relação ao tempo e observe que
#(d V)/(dt) = (d V)/(dh) * (d h)/(dt)#

Usando o valor que já calculamos para #(d V)/(dh)# e o valor fornecido de #20# cm / min (a uma altura de #h=200# cm)
Nós temos:

#(d V)/(dt) = (pi (200 cm)^2 * (20 cm))/(9 min)#
#= (800000 pi)/9# #cm^3#/ Min
ou aproximadamente
#279,252.7# #cm^3#/ Min

Esta é a taxa de entrada necessária para causar aumento de altura e
ignora a taxa de vazamento

A taxa real de entrada precisa ser a soma destes dois:
#279,252.7# #cm^3#/ Min #+ 10,000# #cm^3#/ Min
#= 289,252.7# #cm^3#/ Min