Quais são alguns exemplos de funções não diferenciáveis?

Existem três maneiras pelas quais uma função pode ser não diferenciável. Veremos todos os casos 3.

Caso 1
Uma função não diferenciável onde é descontínua.

Exemplo (1a) f#(x)=cotx# não é diferenciável em #x=n pi# para todo o número inteiro #n#.

gráfico {y = cotx [-10, 10, -5, 5]}

Exemplo (1b) #f(x)= (x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) # não é diferenciável em #0# e em #3# e em #-1#
Observe que #f(x)=(x(x-3)^2)/(x(x-3)(x+1))#
Infelizmente, o utilitário gráfico não mostra os furos em #(0, -3)# e #(3,0)#

graph{(x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) [-10, 10, -5, 5]}

Exemplo 1c) Definir #f(x)# ser #0# if #x# é um número racional e #1# if #x# é irracional. A função não é diferenciável #x#.

Exemplo 1d): descrição: funções definidas por partes podem ter descontentamentos.

Caso 2
Uma função não é diferenciável quando possui uma "cúspide" ou um "ponto de canto".
Isso ocorre em #a# if #f'(x)# é definido para todos #x# perto #a# (todos #x# em um intervalo aberto contendo #a#) exceto em #a#, mas #lim_(xrarra^-)f'(x) != lim_(xrarra^+)f'(x)#. (Ou porque existem, mas são desiguais ou porque um ou ambos deixam de existir.)

Exemplo 2a) #f(x)=abs(x-2)# Não é diferenciável em #2#.
(Esta função também pode ser escrita: #f(x)=sqrt(x^2-4x+4))#

gráfico {abs (x-2) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}

Exemplo 2b) #f(x)=x+root(3)(x^2-2x+1)# Não é diferenciável em #1#.

gráfico {x + raiz (3) (x ^ 2-2x + 1) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}

Caso 3

Uma função não é diferenciável em #a# se tiver uma linha tangente vertical em #a#.
#f# tem uma linha tangente vertical em #a# if #f# é contínuo em #a# e

#lim_(xrarra)abs(f'(x))=oo#

Exemplo 3a) #f(x)= 2+root(3)(x-3)# tem linha tangente vertical em #1#. E, portanto, não é diferenciável em #1#.

gráfico {2 + (x-1) ^ (1 / 3) [-2.44, 4.487, -0.353, 3.11]}

Exemplo 3b) Para algumas funções, consideramos apenas limites unilaterais: #f(x)=sqrt(4-x^2)# tem uma linha tangente vertical em #-2# e em #2#.

#lim_(xrarr2)abs(f'(x))# Não existe, mas

#lim_(xrarr2^-)abs(f'(x))=oo#

gráfico {sqrt (4-x ^ 2) [-3.58, 4.213, -1.303, 2.592]}

Exemplo 3c) #f(x)=root(3)(x^2)# tem uma cúspide e uma linha tangente vertical em #0#.

gráfico {x ^ (2 / 3) [-8.18, 7.616, -2.776, 5.126]}

Aqui está um link que você pode achar útil:
http://socratic.org/calculus/derivatives/differentiable-vs-non-differentiable-functions