Como você encontra a derivada da função usando a definição da derivada #g (t) = 7 / sqrt (t) #?

#g(t) = 7/sqrtt#

Assumirei que você tem permissão para usar a definição:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

(Existem outras maneiras de expressar a definição de derivada, mas essa é muito comum.)

#g'(t) = lim_(hrarr0)(g(t+h)-g(t))/h#

#= lim_(hrarr0)(7/sqrt(t+h)-7/sqrtt)/h#

#= lim_(hrarr0)(7sqrtt -7sqrt(t+h))/(sqrt(t+h)sqrtt)*1/h#

#= lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt)#

Observe que, se tentarmos avaliar por substituição, obtemos a forma indeterminada #0/0#.
O que tentar aqui (funcionará) é racionalizar o numerador usando o conjugado de #sqrtt-sqrt(t+h)#.

Ou seja: multiplicaremos por #1#, na forma: #(sqrtt + sqrt(t+h))/(sqrtt + sqrt(t+h))#

Retomamos:

#g'(t) = lim_(hrarr0)(7(sqrtt -sqrt(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt) *((sqrtt + sqrt(t+h)))/((sqrtt + sqrt(t+h))) #

# =lim_(hrarr0) (7(t-(t+h)))/(hsqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

# =lim_(hrarr0) (-7cancel(h))/(cancel(h)sqrt(t+h)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+h))#

Agora podemos avaliar o limite:

#g'(t) = (-7)/(sqrt(t+0)sqrtt(sqrtt + sqrt(t+0))#

# = (-7)/(sqrttsqrtt(2sqrtt)) = (-7)/(t(2sqrtt)) = (-7)/(2tsqrtt)#

notas
Pode ser útil observar que, em certo sentido, negociamos a subtração: #sqrtt-sqrt(t+h)# no numerador para uma adição: #sqrtt+sqrt(t+h)# no denominador.
A subtração vai para #0#, a adição não.
No processo, fomos capazes de eliminar o fator de #h# do numerador e do denominador.