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Como eu determinaria todos os símbolos de termos possíveis para uma configuração de elétron # s ^ 1p ^ 2 # (como o boro do primeiro estado excitado)?

AVISO LEGAL: Este é um processo longo! Se você quiser tentar isso, reserve cerca de uma hora para o 1-2.

Digamos que você desejasse encontrar cada símbolo de termo possível para um #s^1p^2# configuração. A notação geral é:

#bb(""^(2S + 1) L_J)#

where

  • #S# é o rotação total.
  • #L# é o momento angular total orbital.
  • #J# é o momento angular total, assumindo o alcance #{|L - S|, |L - S + 1|, . . . , |L + S - 1|, |L + S|}#.
  • #2S + 1# é o multiplicidade de rotação.

Para isso, primeiro identificaria todos os valores possíveis de #m_l# e #m_s# para o #s# e #p# elétrons:

  • #s^1: m_l = 0#, #m_s = pm1/2#
  • #p^2: m_l = {-1,0,+1}#, #m_s = pm1/2#

CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA "ESBOÇO"

Para delinear as possíveis configurações eletrônicas, vamos listar cada configuração eletrônica possível. Nós os chamamos microestados.

O jeito que eu acho que faz sentido para organizá-los está dando tudo certo para a esquerda #m_l#e, em seguida, restringindo a mão esquerda mais baixa #m_l#.

  • Sem emparelhamento de elétrons e com girar-up #s# elétron (#L_max = sum_i l_i = 0 + 1 = 1#):

  • Sem emparelhamento de elétrons e com girar-baixa #s# elétron (#L_max = sum_i l_i = 0 + 1 = 1#):

  • Com emparelhamento de elétrons, com spin-up or spin-down #s# elétron (#L_max = sum_i l_i = 0 + 1 + 1 = 2#):

Isso nos dá um total de #30# configuração eletrônica "microestados".

CONSTRUINDO UMA MESA DE MICROSTATO

Cada microestado tem seu momento angular de rotação total correspondente #S# momento angular total da órbita #L# no #z# direção, que são chamados #M_S# e #M_L#, respectivamente. Eles são definidos como:

#M_L = sum_i m_(l)(i)#
#M_S = sum_i m_(s)(i)#

meaning the sum of the #m_l# or #m_s# values for electron #i#.

Anteriormente, dissemos que tínhamos um #L_max# of #1# or #2#. Bem, isso fornece o intervalo permitido de #M_L# ser #color(green)({-2,-1,0,+1,+2})#, assim como #m_l = {-l,-l+1,...,l-1,l}#.

That will be the number of rows of our table.

Também com #3# elétrons, a rotação total pode ser #S = 1/2,3/2#. Portanto, a gama de #M_S# is #color(green)({-3/2,-1/2,+1/2,+3/2})#.

That will be the number of columns of our table.

A partir disso, o espaço em branco mesa de microestados que organiza nossas configurações eletrônicas é:

#M_Luarr" "" "larr M_S rarr#
#ul(" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" ")#
#color(white)([(color(black)(""),color(black)(-3/2),color(black)(-1/2),color(black)(+1/2),color(black)(+3/2)),(color(black)(+2),color(black)(""),color(black)(""),color(black)(""),color(black)("")),(color(black)(+1),color(black)(""),color(black)(""),color(black)(""),color(black)("")),(color(black)(0),color(black)(""),color(black)(""),color(black)(""),color(black)("")),(color(black)(-1),color(black)(""),color(black)(""),color(black)(""),color(black)("")),(color(black)(-2),color(black)(""),color(black)(""),color(black)(""),color(black)(""))])#

O esboço que fizemos acima é como podemos rastrear quais já respondemos.

Como exemplo da notação que colocaremos na tabela,

#ul(color(white)(uarr darr))" "ul(uarr color(white)(darr))" "ul(uarr color(white)(darr))#
#ul(darr color(white)(uarr))#

seria escrito como #0^(-) 0^(+) 1^(+)#, para indicar que:

  • o #s# elétron entrou em um orbital de #m_l = 0# como spin-down #(-)#
  • a #p# elétron entrou em um orbital de #m_l = 0# como spin-up #(+)#,
  • a #p# elétron entrou em um orbital de #m_l = 1# como spin-up #(+)#.

Assim,

  • #bb(M_S) = sum_i m_(s)(i) = -1/2 + 1/2 + 1/2 = bb(+1/2)#
  • #bb(M_L) = sum_i m_(l)(i) = 0 + 0 + 1 = bb(1)#

Portanto, ele entra na célula que é indicada por #M_S = +1/2# e #M_L = +1#.

Dê a si mesmo meia hora a uma hora e você deve obter:

SEPARANDO EM MESAS INDIVIDUAIS DE MICROSTATO POR CADA PRAZO DE ÍON

Agora, para encontrar cada símbolo de termo, primeiro facilitamos o gerenciamento da tabela, definindo cada microestado como #x#. Isso dá:

Acima, destaquei os microestados da seguinte forma:

  1. A partir do número máximo de #M_L# linhas e, em seguida, o número máximo desses #M_S# colunas e escolha o primeiro termo em cada célula.
  2. Depois, diminua o intervalo de #S# simetricamente (passando das colunas 4 para as colunas 2) e encontre o novo número máximo de #M_L# linhas dos microestados disponíveis.
  3. Depois, diminua o intervalo de #L# depois de atingir o número mínimo de #M_S# colunas.

Cada cor de #x# é colocado em uma mesa de microestados separada.

  • A primeira tabela seria a #color(blue)("blue")# #x#'s.
  • O segundo seria o #color(red)("red")# #x#'s.
  • O terceiro seria o #color(orange)("orange")# #x#'s.
  • O quarto seria o #color(green)("green")# #x#'s.

Aqui está um GIF que ilustra como fazê-lo:

ENCONTRANDO CADA SÍMBOLO DE PRAZO LIVRE (NO J)

Foi assim que eu soube quais símbolos de termos de íons livres escrever para as tabelas de microestados acima:

  • O número de #M_L# linhas é o intervalo de #L# no #+z# e #-z# direções, então #|M_(L,max)| = L_max#, que informa que letra o termo símbolo é (#0,1,2,3,4,... harr S,P,D,F,G,...#).
  • O número de #M_S# colunas é o intervalo de #S# no #+z# e #-z# direções, então #|M_(S,max)| = S_max#, que indica o que o rotação total para o termo símbolo é.

Depois de resolvê-lo, confirme se seus símbolos de termos iniciais são:

  • #""^(2(3/2) + 1) (L = 1) = ""^4 P# (azul #x#s)
  • #""^(2(1/2) + 1) (L = 2) = ""^2 D# (vermelho #x#s)
  • #""^(2(1/2) + 1) (L = 1) = ""^2 P# (laranja #x#s)
  • #""^(2(1/2) + 1) (L = 0) = ""^2 S# (verde #x#s)

ENCONTRANDO CADA SÍMBOLO DE TERMOS "MÚLTIPLOS" (INCLUINDO J)

Finalmente, encontre #J# usando o #L# e #S# valores que você tem disponível. Para cada #L# e #S#, pegue o maior #|M_L|# e use cada #|M_S|#, respectivamente:

#""^4 P: L = 0,bb(1); S = 1/2,3/2#
#=> color(green)(J) = (1-1/2),(1+1/2),(1+3/2) = color(green)(1/2,3/2,5/2)#

#""^2 D: L = 0,1,bb(2); S = 1/2#
#=> color(green)(J) = (2-1/2),(2+1/2) = color(green)(3/2,5/2)#

#""^2 P: L = 0,bb(1); S = 1/2#
#=> color(green)(J) = (1-1/2),(1+1/2) = color(green)(1/2,3/2)#

#""^2 S: L = bb(0); S = 1/2#
#=> color(green)(J = 1/2)#

Então nós finalmente ter:

#color(blue)(""^4 P_"1/2", ""^4 P_"3/2", ""^4 P_"5/2", ""^2 D_"3/2", ""^2 D_"5/2", ""^2 P_"1/2", ""^2 P_"3/2", ""^2 S_"1/2")#