Os homens têm larguras de cabeça normalmente distribuídas com uma média de polegadas 6.0 e um desvio padrão de polegadas 1.0. Se um homem é selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de que a largura de sua cabeça seja menor que polegadas 6.2?

Queremos encontrar a probabilidade de que, em uma série normalmente distribuída, encontraremos um valor menor que o valor .2 maior que a média.

A tabela z é ótima para esse tipo de problema.

A pontuação z para uma largura de cabeça de 6.2 seria .2, porque a média é 6 e o desvio padrão é 1.

#(deviation)/sigma = z#

#.2 / 1 = .2# (Se o desvio padrão fosse um número diferente de 1, precisaríamos fazer isso para encontrar o escore-z de um desvio da média)

Agora podemos ver nossa tabela z positiva (a que eu vinculei aqui é de chegg.com) para encontrar a área de uma curva normal à esquerda de #z = 0.20#, e vemos que é .5793, o que significa que há uma chance de 57.93% de você encontrar um homem com a largura da cabeça abaixo das polegadas do 6.2.

Edit: Vejo que esta é uma pergunta em duas partes.

Para a segunda parte, você deseja usar esta fórmula:

#sigma_bar x = sigma/sqrtn#

com #n# sendo o tamanho da amostra.

#sigma/sqrtn -> 1.0/sqrt100#

#sigma_bar 100 = 0.1#

Agora podemos usar o Teorema do limite central.

#z = (bar x - mu_bar x)/sigma_bar x#

#z = (6.2 - 6.0)/0.1#

#z = 2.00#

Voltando à nossa tabela z:

#z = 2.00 -> .9772#

ou uma chance de 97.72%.