Como você encontra a derivada de #ln (4x) #?

#ln(4x)# é uma função composta, composta pelas funções #lnx# e #4x#. Por isso, devemos usar o regra da cadeia:

#dy/(dx) = (dy)/(du) (du)/dx#

Nós já sabemos que #(lnx)' = 1/x#. Portanto, queremos que o conteúdo do logaritmo natural seja uma única variável e podemos fazer isso configurando #u = 4x#. Agora poderíamos dizer isso #(lnu)' = 1/u#, em relação a #u#. Essencialmente, a regra da cadeia afirma que a derivada de #y# em relação a #x#, é igual à derivada de #y# em relação a #u#, Onde #u# é uma função de #x#, vezes a derivada de #u# em relação a #x#. No nosso caso, #y = ln(4x)#. Diferenciando #u# em relação a #x# é simples, pois #u = 4x#: #u' = 4#, em relação a #x#. Então, vemos que:

#dy/(dx) = 1/u * 4 = 4/u#

Agora podemos mudar #u# de volta para #4x#, e pegue #4/(4x) = 1/x#.

Interessantemente suficiente, #[ln(cx)]'# onde #c# é uma constante diferente de zero, onde é definida, é igual a #1/x#, Assim como #(lnx)'#, mesmo usando a regra da cadeia.