Um copo de papel cônico mede 10 cm de altura com um raio de 30 cm. O copo está sendo enchido com água para que o nível da água suba a uma taxa de 2 cm / s. A que taxa a água está sendo derramada no copo quando o nível da água é 9 cm?

Vamos configurar as seguintes variáveis:

# {(R, "Radius of conical cup (cm)",=30 cm), (H, "Height of the conical cup (cm)",=10 cm), (t, "time", "(s)"), (h, "Height of water in cup at time t","(cm)"), (r, "Radius of water at time t","(cm)" ), (V, "Volume of water at time t", "(cm"^3")") :} #

Nosso objetivo é encontrar #(dV)/dt# quando #h=9# e nos é dado #(dh)/dt=2#

Por triângulos semelhantes, temos

# r:h = R:H #

# :. r/h=30/10 => r = 3h #

O volume de um cone é #1/3pir^2h#, Tão:

# V = 1/3 pi r^2 h #
# = 1/3 pi (3h)^2 h #
# = 1/3 pi 9h^2 h #
# = 3pi h^3 #

Diferenciando wrt #h# Nós temos:

# (dV)/(dh) = 9pih^2 #

E aplicando o regra da cadeia temos:

# (dV)/(dt) = (dV)/(dh) * (dh)/(dt) #
# = 9pih^2 * 2 #
# = 18pih^2 #

E então, quando h = 9, temos:

# [ (dV)/(dt) ]_(h=9) = 18pi(9^2) = 1458pi cm^3s^-1 #