Como você prova que $cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y$ $cos (xy) = cosxcosy + sinxsiny$ ?

$cos (a - b) = cos (a) \cdot cos (b) + sin (a) \cdot sin (b)$ $cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)$
pode ser demonstrado mostrando primeiro que
$cos (a + b) = cos (a) \cdot cos (b) - sin (a) \cdot sin (b)$ $cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)$
e depois fazendo a conversão usando o princípio CAST conforme indicado.

Tenho certeza de que existem outras maneiras de fazer isso; mas é isso que eu criei. (é bem longo).
Minhas desculpas por usar $a$ $a$ e $b$ $b$ em vez de $x$ $x$ e $y$ $y$ ; Desenhei os diagramas abaixo antes de verificar quais variáveis foram usadas na solicitação.

Parte 1: Show $cos (a + b) = cos (a) \cdot cos (b) - sin (a) \cdot sin (b)$ $cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)$
insira a fonte da imagem aqui

Um triângulo XQP foi construído ao longo da hipotenusa do triângulo XYQ com ângulo $a$ $a$ acima do ângulo $b$ $b$ como no diagrama.

O segmento de linha XP é identificado como o comprimento da unidade para todas as medições neste sistema.

Um retângulo é construído com a base XY estendendo a linha de Y a Q até chegar a um ponto Z onde PZ é paralelo ao fundo (XY) (a conclusão do retângulo estabelece o ponto W)

Dentro do triângulo XQP é claro que (desde $| X P | = 1$ $|XP| = 1$ )
$| X Q | = cos (a)$ $|XQ| = cos(a)$
e
$| P Q | = sin (a)$ $|PQ| = sin(a)$

Portanto, no triângulo XYQ
$| X Y | = cos (b) \cdot cos (a)$ $|XY| = cos(b)*cos(a)$ ( $cos (b)$ $cos(b)$ ampliado pelo $cos (a)$ $cos(a)$ )

Da mesma forma no triângulo QZP
$| P Z | = sin (a) \cdot sin (b)$ $|PZ| = sin(a)*sin(b)$

Como WZ é paralelo a XY (por construção)
ângulo XPW = ângulo PXY = $a + b$ $a+b$
e
$| W P | = cos (a + b)$ $|WP| = cos(a+b)$

Do diagrama
$cos (a + b) + sin (a) \cdot sin (b) = cos (a) \cdot cos (b)$ $cos(a+b) + sin(a)*sin(b) = cos(a)*cos(b)$

or
$cos (a + b) = cos (a) \cdot cos (b) - sin (a) \cdot sin (b)$ $cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)$

Parte 2 : Mostre que se $cos (a + b) = cos (a) \cdot cos (b) - sin (a) \cdot sin (b)$ $cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)$
então $cos (a - b) = cos (a) \cdot cos (b) + sin (a) \cdot sin (b)$ $cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)$

$cos (a - b) = cos (a + (- b))$ $cos(a-b) = cos(a + (-b))$
para que possamos substituir para obter
$cos (a - b) = cos (a) \cdot cos (- b) - sin (a) \cdot sin (- b)$ $cos(a-b) = cos(a)*cos(-b) - sin(a)*sin(-b)$

Pelo diagrama do quadrante CAST para trig. sinais (abaixo), podemos ver que
$cos (- b) = cos (b)$ $cos(-b) = cos(b)$
e
$sin (- b) = - sin (b)$ $sin(-b) = -sin(b)$

insira a fonte da imagem aqui

Portanto, podemos escrever:

$cos (a - b) = (cos (a) \cdot cos (b)) - (sin (a) \cdot (- sin (b)))$ $cos (a - b) = (cos(a) * cos(b)) - (sin(a) * (-sin(b) ))$

or
$cos (a - b) = cos (a) \cdot cos (b) + sin (a) \cdot sin (b)$ $cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)$

Como você prova que cos (xy) = cosxcosy + sinxsiny cos(xy)=cosxcosy+sinxsinycos (xy) = cosxcosy + sinxsiny ?

Como você prova que $cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y$ $cos (xy) = cosxcosy + sinxsiny$ ?