Avaliar sin 20?

Responda:

$sin (20^{\circ}) \approx 0.34202014332566$ $sin(20^@)~~0.34202014332566$ Casas decimais 14

Explicação:

Primeiro método:

E, de longe, o método mais fácil é usar uma calculadora

$sin (20^{\circ}) \approx 0.34202014332566$ $sin(20^@)~~0.34202014332566$ Casas decimais 14

Segundo método:

Se todos os botões trigonométricos da sua calculadora estiverem quebrados,
depois de toda a matemática selvagem :), existe outra solução

Use o identidade

$sin (3 θ) = 3 sin (θ) - 4 {sin}^{3} (θ)$ $sin(3theta)=3sin(theta)-4sin^3(theta)$

Deixei $θ = 20^{\circ}$ $theta=20^@$

$sin (60^{\circ}) = 3 sin (20^{\circ}) - 4 {sin}^{3} (20^{\circ})$ $sin(60^@)=3sin(20^@)-4sin^3(20^@)$

Mas $sin (60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $sin(60^@)=sqrt(3)/2$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = 3 sin (20^{\circ}) - 4 {sin}^{3} (20^{\circ})$ $sqrt(3)/2=3sin(20^@)-4sin^3(20^@)$

$\Rightarrow 3 sin (20^{\circ}) - 4 {sin}^{3} (20^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ $=>3sin(20^@)-4sin^3(20^@)-sqrt(3)/2=0$

Deixei $x = sin (20^{\circ})$ $x=sin(20^@)$

$3 x - 4 x^{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ $3x-4x^3-sqrt(3)/2=0$

$\frac{3}{4} x - x^{3} - \frac{\sqrt{3}}{8} = 0$ $3/4x-x^3-sqrt(3)/8=0$

$x^{3} - \frac{3}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0$ $x^3-3/4x+sqrt(3)/8=0$

Em outras palavras $sin (20)$ $sin(20)$ deve ser uma solução para este cúbico

Pelo método de Newton, podemos aproximar essa raiz
(No entanto, tenha um pouco de cuidado)

$x_(n+1)=x_n-f(x_n)/(f'(x_n))$

Sabemos

$f(x)=x^3-3/4x+sqrt(3)/2$ and $f'(x)=3x^2-3/4$

Desenhado $sin(20)$ parece cerca de um terço (na verdade, um palpite muito bom)

$x_0=1/3$

Pelo método de Newton

$x_1=1/3-((1/3)^3-3/4(1/3)+sqrt(3)/2)/(3(1/3)^2-3/4)~~ 0.341837464493$

$x_2=x_1-f(x_1)/(f'(x_1))~~ 0.342020057633$

$x_3=x_2-f(x_2)/(f'(x_2))~~ 0.342020143326$

Após etapas do 3 precisas com pelo menos casas decimais do 12

Após apenas as etapas do 6, devemos ter uma precisão em torno dos dígitos do 100,
de acordo com Wolfram Alpha, pelo método de Newton