Como avalio # int_0 ^ 5 | x-5 | dx # interpretando-o em termos de √°reas?

#|x-5|# é igual a #x-5# if #x-5>0# (isto é, #x>5#), E #5-x# caso contrário (ou seja, #x<5#).

Ambas as equa√ß√Ķes #x-5# e #5-x# s√£o linhas, ent√£o o gr√°fico do seu valor absoluto ter√° a forma de um V:
gr√°fico {| x-5 | [-5.37, 14.63, -1, 9]}
Como você pode ver, antes da abscissa 5 (ou seja, #x<5#) você tem uma linha com uma inclinação negativa, que é #5-x#e, após esse valor crítico, você terá uma linha com inclinação positiva, que é #x-5#.

Se você deseja integrar a função durante o intervalo #[0,5]#, é necessário (como você disse) calcular a área abaixo do gráfico no referido intervalo.

Se voc√™ diz "interpretando-o em termos de √°reas", presumo que voc√™ n√£o deseja o c√°lculo expl√≠cito da integral. Nesse caso, deve ficar claro a partir da figura que a √°rea que voc√™ est√° procurando √© a do tri√Ęngulo com v√©rtices #(0,0)#, #(5,0)# e #(0,5)#.

√Č um tri√Ęngulo ret√Ęngulo com os dois catheti de comprimento 5, e assim voc√™ pode encontrar facilmente a √°rea, que √© #25/2#

Se minha suposição estava errada e você realmente precisa que a integral seja feita, aqui estão as etapas:

Antes de tudo, observe que no seu alcance de integração (ou seja, o intervalo #[0,5]#) #|x-5|=-x+5#e, portanto, você pode substituir o integrando. Então, você tem que a integral de uma soma é a soma das integrais e, portanto, você tem

#int_0^5 -x+5 dx = -int_0^5 x dx + int_0^5 5 =
(-frac{x^2}{2}+ 5x)|_0^5 = -frac{25}{2}+25=frac{25}{2}#