Como calculo o ângulo entre dois vetores?

Você pode usar o produto escalar para resolver esse problema. Vejo http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

O produto escalar é uma operação em dois vetores. Existem duas definições diferentes de produto escalar. Deixei #vec(A)=[A_1,A_2,...,A_n]# ser um vetor e #vec(B)=[B_1,B_2,...,B_n]# como outro vetor, temos as fórmulas 2 para o produto escalar:

1) Definição algébrica:

#vec(A) cdot vec(B) = sum_1^n A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n#

2) Definição geométrica:

#vec(A) cdot vec(B) = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

onde #theta# é o ângulo entre #vec(A)# e #vec(B)#e #||vec(A)||# denota a magnitude de #vec(A)# e tem a fórmula:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2)#

Podemos resolver muitas perguntas (como o ângulo entre dois vetores) combinando as duas definições:

#sum_1^n A_i B_i = ||vec(A)|| ||vec(B)||cos(theta)#

or

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... + A_n B_n = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + ... + B_n^2))cos(theta)#

Se tivermos dois vetores, o único desconhecido é #theta# na equação acima, e assim podemos resolver #theta#, que é o ângulo entre os dois vetores.

Exemplo:

Q: dado #vec(A) = [2, 5, 1]#, #vec(B) = [9, -3, 6]#, encontre o ângulo entre eles.

A:
A partir da pergunta, vemos que cada vetor tem três dimensões. De cima, nossa fórmula se torna:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2))(sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2))cos(theta)#

Lado esquerdo:

#A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 = (2)(9) + (5)(-3) + (1)(6) = 9#

Lado direito:

#||vec(A)|| = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2) = sqrt(2^2 + 5^2 + 1^2) = sqrt(30)#
#||vec(B)|| = sqrt(B_1^2 + B_2^2 + B_3^2) = sqrt(9^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(126)#
#theta# É desconhecido

Conecte tudo na fórmula, obtemos:

#9 = (sqrt(30))(sqrt(126))cos(theta)#

Resolva para #theta#:

#cos(theta) = frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))#
#theta = cos^-1(frac(9)((sqrt(30))(sqrt(126))))#

Usando uma calculadora, obtemos:

#theta = 81.58# graus

Veja o seguinte vídeo de ...

Exemplo de ângulo entre vetores

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