Como encontro a derivada de uma fração?

Quando nos é dada uma fração, diga #f(x)=(3-2x-x^2)/(x^2-1)#. Isso inclui duas frações - digamos uma #g(x)=3-2x-x^2# no numerador e o outro #h(x)=x^2-1#, no denominador. Aqui usamos a regra do quociente conforme descrito abaixo.

Regra do quociente declara se #f(x)=(g(x))/(h(x))#

então #(df)/(dx)=((dg)/(dx)xxh(x)-(dh)/(dx)xxg(x))/(h(x))^2#

Aqui #g(x)=3-2x-x^2# e, portanto #(dg)/(dx)=-2-2x# e quanto #h(x)=x^2-1#, temos #(dh)/(dx)=2x# e, portanto

#(df)/(dx)=((-2-2x)xx(x^2-1)-2x xx(3-2x-x^2))/(x^2-1)^2#

= #(-2x^3-2x^2+2x+2-6x+4x^2+2x^3)/(x^2-1)^2#

= #(2x^2-4x+2)/(x^2-1)^2#

or #(2(x-1)^2)/(x^2-1)^2#

= #2/(x+1)^2#

Observe aquilo #(3-2x-x^2)/(x^2-1)=((1-x)(3+x))/((x+1)(x-1))=(-3-x)/(x+1)# e usando regra de quociente

#(df)/(dx)=(-(x+1)-(-3-x))/(x+1)^2=2/(x+1)^2#