Como encontro a derivada de uma fração?

Responda:

Usamos a regra do quociente conforme descrito abaixo para diferenciar frações algébricas ou qualquer outra função escrita como quociente ou fração de duas funções ou expressões

Explicação:

Quando nos é dada uma fração, diga $f (x) = \frac{3 - 2 x - x^{2}}{x^{2} - 1}$ $f(x)=(3-2x-x^2)/(x^2-1)$ . Isso inclui duas frações - digamos uma $g (x) = 3 - 2 x - x^{2}$ $g(x)=3-2x-x^2$ no numerador e o outro $h (x) = x^{2} - 1$ $h(x)=x^2-1$ , no denominador. Aqui usamos a regra do quociente conforme descrito abaixo.

Regra do quociente declara se $f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}$ $f(x)=(g(x))/(h(x))$

então $\frac{d f}{d x} = \frac{\frac{d g}{d x} \times h (x) - \frac{d h}{d x} \times g (x)}{{(h (x))}^{2}}$ $(df)/(dx)=((dg)/(dx)xxh(x)-(dh)/(dx)xxg(x))/(h(x))^2$

Aqui $g (x) = 3 - 2 x - x^{2}$ $g(x)=3-2x-x^2$ e, portanto $\frac{d g}{d x} = - 2 - 2 x$ $(dg)/(dx)=-2-2x$ e quanto $h (x) = x^{2} - 1$ $h(x)=x^2-1$ , temos $\frac{d h}{d x} = 2 x$ $(dh)/(dx)=2x$ e, portanto

$\frac{d f}{d x} = \frac{(- 2 - 2 x) \times (x^{2} - 1) - 2 x \times (3 - 2 x - x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ $(df)/(dx)=((-2-2x)xx(x^2-1)-2x xx(3-2x-x^2))/(x^2-1)^2$

= $\frac{- 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 - 6 x + 4 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ $(-2x^3-2x^2+2x+2-6x+4x^2+2x^3)/(x^2-1)^2$

= $\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ $(2x^2-4x+2)/(x^2-1)^2$

or $\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ $(2(x-1)^2)/(x^2-1)^2$

= $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ $2/(x+1)^2$

Observe aquilo $\frac{3 - 2 x - x^{2}}{x^{2} - 1} = \frac{(1 - x) (3 + x)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{- 3 - x}{x + 1}$ $(3-2x-x^2)/(x^2-1)=((1-x)(3+x))/((x+1)(x-1))=(-3-x)/(x+1)$ e usando regra de quociente

$\frac{d f}{d x} = \frac{- (x + 1) - (- 3 - x)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ $(df)/(dx)=(-(x+1)-(-3-x))/(x+1)^2=2/(x+1)^2$