Como encontro a equação de um gráfico sinusoidal?

Antes de resolvermos os problemas, gostaria de passar por um pouco de vocabulário.

• Uma função sinusoidal é uma função no seno ou no cosseno

• A amplitude de um gráfico é a distância no eixo y entre a linha normal e o máximo / mínimo. É dado pelo parâmetro #a# em função #y = asinb(x - c) + d or y = acosb(x - c) + d#

• O período de um gráfico é a distância no eixo x antes que a função se repita. Para funções sinusoidais, é dado avaliando-se #(2p)i/b# in #y = acosb(x - c) + d or y = asinb(x - c) + d#

• O deslocamento horizontal é dado através da resolução de #x# in #x - c = 0# in #y = acosb(x - c) + d or y = asinb(x - c) + d#. O deslocamento horizontal significa o número de unidades à direita ou à esquerda do eixo x

• O deslocamento vertical é dado por #d# in #y = acosb(x - c) + d or y = asinb(x - c) + d#. O deslocamento vertical é o deslocamento para cima ou para baixo do eixo y.

Feito isso, agora podemos analisar algumas aplicações para essas palavras em particular.

1 exemplo:

O que é uma co-seno equação para o gráfico a seguir?

Primeiro, vamos observar a amplitude. A linha normal é a linha que corre completamente no meio, por isso é #x = 0#. Isso também significa que não há deslocamento vertical, ou #d = 0# in #y = acosb(x - c) + d#.

A amplitude é dada por #"equation of max" - "equation of normal"#. Nesse caso, a equação do máximo é #y = 2# enquanto a equação do normal é #y = 0#. Portanto, a amplitude é #2 - 0 = 2#.

No entanto, o gráfico de #y = cosx# tem um máximo no eixo y, não um mínimo como no nosso gráfico. O que isso significa? Significa que houve uma reflexão sobre o eixo x, o que significa que o parâmetro #a# é negativo. Portanto, parâmetro #a# is #-2#. Note que a amplitude nunca pode ser negativa, por isso é dada por #|a|#.

Em seguida, vamos determinar o período. Veja a definição acima de "período". É a distância entre dois máximos ou dois mínimos. No gráfico acima, a distância entre quaisquer dois máximos ou mínimos é #pi#. Sabemos o período agora, tudo o que resta é encontrar o valor de #b#.

Lembre-se de que o período de uma função sinusoidal é dado por #(2pi)/b#. Portanto, podemos afirmar que #(2pi)/b = pi#

Resolvendo para b:

#2pi = bpi#

#(2pi)/pi = b#

#b = 2#

Assim, #b = 2#.

Quanto aos deslocamentos horizontais, não há, pois o mínimo está no eixo y; não foi movido para a esquerda ou direita.

Em resumo, agora podemos afirmar que a equação da função acima é #y = -2cos(2x)#.

2 exemplo:

Determine a equação do gráfico a seguir.

Isso é um pouco mais complicado. Primeiro, notamos que ocorreu um deslocamento vertical. O gráfico foi movido para cima #3# unidades em relação à de #y = sinx# (a linha normal tem a equação # y = 3#) Também podemos concluir que essa é uma função senoidal, porque o gráfico atende às #y# eixo na linha normal e não no máximo / mínimo.

Quanto à amplitude, encontramos o máximo em #y = 5# enquanto a linha normal é #y = 3#. Portanto, a amplitude é #5 - 3 = 2#.

Este gráfico não sofreu reflexão sobre o eixo x, portanto, o parâmetro #a# é positivo neste cenário.

Quanto ao período, a distância entre os dois máximos e mínimos é #1#, então o período é #1#. Nós devemos determinar o valor de #b#:

#(2pi)/b = 1#

#2pi = b#

Conseqüentemente, #b = 2pi#.

Finalmente, precisamos determinar o fator do deslocamento horizontal. Nós achamos que é #1# unidade para a direita. Portanto, nossa equação é #y = 2sin(2pi(x - 1)) + 3#.

Espero que isso ajude!