Como encontro o ponto no gráfico f (x) = sqrt (x) mais próximo do ponto (4,0)? Por favor, mostre o trabalho

O que nos pedem aqui é simplesmente minimizar a distância. Observe também que podemos escrever #f(x)=sqrt(x)# as #y=sqrt(x)#.

Agora, o que é essa "distância?" Como a encontramos? Bem, se você pensar em Álgebra I ou Geometria, lembrará que a distância entre dois pontos #(x_1,y_1)# e #(x_2,y_2)# É dado por: #sqrt((y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2)#. Por exemplo, a distância entre os pontos #(4,0)# e #(0,3)# seria:
#sqrt((3-0)^2+(4-0)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5#

Ok, então o que é #(x_1,y_1)# e #(x_2,y_2)# no nosso exemplo? #(x_1,y_1)# é simples - é apenas o ponto indicado no problema, #(4,0)#. Porque nós não sabemos o que #x_2# é, vamos chamá-lo #x# para agora. Quanto a #y_2#, também não sabemos isso; e desde #y=sqrt(x)#, vamos chamá-lo #sqrt(x)#.

Nossa fórmula passa a ser:
#sqrt((sqrt(x)-0)^2+(x-4)^2)=sqrt((sqrt(x)^2)+x^2-8x+16)=sqrt(x+x^2-8x+16)=sqrt(x^2-7x+16)#

Nos pedem para minimizar essa distância, que chamaremos #s# para facilitar os cálculos a seguir. Para minimizar algo, temos que tomar sua derivada, então vamos começar por aí:
#s=sqrt(x^2-7x+16)=(x^2-7x+16)^(1/2)#
#(ds)/dx=(2x-7)*1/(2(x^2-7x+16)^(1/2))->#utilização regra de poder e regra da cadeia
#(ds)/dx=(2x-7)/(2sqrt(x^2-7x+16)#

Agora definimos isso igual a #0# e resolver para #x#:
#0=(2x-7)/(2sqrt(x^2-7x+16)#

#0=2x-7#

#x=7/2#

Isto é conhecido como o valor críticoe representa o #x#-valor para o qual a função é minimizada. Tudo o que precisamos fazer agora é encontrar o correspondente #y#-value, usando a definição de #y#: #y=sqrt(x)#. Substituindo #7/2# para #x#:
#y=sqrt(7/2)#
#y~~1.87#

E pronto, o #y#-valor. Agora podemos dizer que a distância mínima entre #f(x)=sqrt(x)# e o ponto #(4,0)# (o local onde esses dois estão mais próximos) ocorre em #(7/2, 1.87)#. Para um pouco mais de diversão, podemos usar a fórmula da distância para ver qual é a distância real entre os pontos:
#s=sqrt((1.87-0)^2+(7/2-4)^2)~~1.8# unidades