Como você calcula a energia de ionização de um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental?

!! RESPOSTA MUITO LONGA !!

Comece calculando o Comprimento de onda da linha de emissão que corresponde a um elétron que passa por um #n=1 -> n = oo# transição em um átomo de hidrogênio.

Essa transição faz parte do Série Lyman e ocorre no ultravioleta parte do espectro eletromagnético.

Sua ferramenta de escolha aqui será a Equação de Rydberg para o átomo de hidrogênio, que se parece com isso

#1/(lamda_"e") = R * (1/n_1^2 - 1/n_2^2)#

Aqui

• #lamda_"e"# is the wavelength of the emitted photon (in a vacuum)
• #R# is the Rydberg constant, equal to #1.097 * 10^(7)# #"m"^(-1)#
• #n_1# represents the principal quantum number of the orbital that is lower in energy
• #n_2# represents the principal quantum number of the orbital that is higher in energy

No seu caso, você tem

#{(n_1 = 1), (n_2 = oo) :}#

Agora, você sabe que, como o valor de #n_2# aumenta, o valor de #1/n_2^2# diminui. Quando #n=oo#, você pode dizer isso

#1/n_2^2 -> 0#

Isso implica que a equação de Rydberg assumirá a forma

#1/(lamda) = R * (1/n_1^2 - 0)#

#1/(lamda) = R * 1/n_1^2#

que, no seu caso, você receberá

#1/(lamda) = R * 1/1^2#

#1/(lamda) = R#

Reorganizar para resolver o comprimento de onda

#lamda = 1/R#

Conecte o valor que você tem para #R# para obter

#lamda = 1/(1.097 * 10^(7)color(white)(.)"m") = 9.116 * 10^(-8)# #"m"#

Agora, para encontrar a energia que corresponde a essa transição, calcule o freqüência, #nu#, de um fóton que é emitido quando essa transição ocorre usando o fato de que o comprimento de onda e a frequência têm uma relação inversa descrito por esta equação

#color(blue)(ul(color(black)(nu * lamda = c)))#

Aqui

• #nu# is the frequency of the photon
• #c# is the speed of light in a vacuum, usually given as #3 * 10^8# #"m s"^(-1)#

Reorganize para resolver a frequência e insira seu valor para encontrar

#nu * lamda = c implies nu = c/(lamda)#

#nu = (3 * 10^(8) color(red)(cancel(color(black)("m"))) "s"^(-1))/(9.116 * 10^(-8)color(red)(cancel(color(black)("m")))) = 3.291 * 10^(15)# #"s"^(-1)#

Finalmente, a energia deste fóton é diretamente proporcional à sua frequência, conforme descrito pelo Relação Planck - Einstein

#color(blue)(ul(color(black)(E = h * nu)))#

Aqui

• #E# is the energy of the photon
• #h# is Planck's constant, equal to #6.626 * 10^(-34)"J s"#

Conecte seu valor para encontrar

#E = 6.626 * 10^(-34)color(white)(.)"J" color(red)(cancel(color(black)("s"))) * 3.291 * 10^(15) color(red)(cancel(color(black)("s"^(-1))))#

#E = 2.181 * 10^(-18)# #"J"#

Isso significa que, para remover o elétron do estado fundamental de um átomo de hidrogênio no estado gasoso e criar um íon de hidrogênio, é necessário fornecer #2.181 * 10^(-18)# #"J"# de energia.

Isso significa que para #1# átomo de hidrogênio no estado gasoso, você tem

#"H"_ ((g)) + 2.181 * 10^(-18)color(white)(.)"J" -> "H"_ ((g))^(+) + "e"^(-)#

Agora, a energia de ionização de hidrogênio representa a energia necessária para remover #1# toupeira de elétrons de #1# toupeira de átomos de hidrogênio no estado gasoso.

Para converter a energia em quilojoules por mole, use o fato de que #1# toupeira de fótons contém #6.022 * 10^(23)# fótons como dado pela constante de Avogadro.

Você vai acabar com

#6.022 * 10^(23) color(red)(cancel(color(black)("photons")))/"1 mole photons" * (2.181 * 10^(-18)color(white)(.)color(red)(cancel(color(black)("J"))))/(1color(red)(cancel(color(black)("photon")))) * "1 kJ"/(10^3color(red)(cancel(color(black)("J"))))#

# = color(darkgreen)(ul(color(black)("1313 kJ mol"^(-1))))#

Você pode dizer que, para #1# toupeira de átomos de hidrogênio no estado gasoso, você tem

#"H"_ ((g)) + "1313 kJ" -> "H"_((g))^(+) + "e"^(-)#

O valor citado para a energia de ionização do hidrogênio é realmente #"1312 kJ mol"^(-1)#.

Meu palpite seria que a diferença entre os dois resultados foi causada pelo valor que usei para a constante de Avogadro e pelo arredondamento.

#6.02 * 10^(23) -> "1312 kJ mol"^(-1)" vs "6.022 * 10^(23) -> "1313 kJ mol"^(-1)#