Como você calcula a energia de ionização de um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental?

Responda:

${1313 kJ mol}^{- 1}$ $"1313 kJ mol"^(-1)$

Explicação:

!! RESPOSTA MUITO LONGA !!

Comece calculando o Comprimento de onda da linha de emissão que corresponde a um elétron que passa por um $n = 1 \to n = \infty$ $n=1 -> n = oo$ transição em um átomo de hidrogênio.

Essa transição faz parte do Série Lyman e ocorre no ultravioleta parte do espectro eletromagnético.

Sua ferramenta de escolha aqui será a Equação de Rydberg para o átomo de hidrogênio, que se parece com isso

$\frac{1}{λ_{e}} = R \cdot (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}})$ $1/(lamda_"e") = R * (1/n_1^2 - 1/n_2^2)$

Aqui

$λ_{e}$ $lamda_"e"$ is the wavelength of the emitted photon (in a vacuum)

$R$ $R$ is the Rydberg constant, equal to $1.097 \cdot 10^{7}$ $1.097 * 10^(7)$ $m^{- 1}$ $"m"^(-1)$

$n_{1}$ $n_1$ represents the principal quantum number of the orbital that is lower in energy

$n_{2}$ $n_2$ represents the principal quantum number of the orbital that is higher in energy

No seu caso, você tem

${(n_1 = 1), (n_2 = oo) :}$

Agora, você sabe que, como o valor de $n_2$ aumenta, o valor de $1/n_2^2$ diminui. Quando $n=oo$ , você pode dizer isso

$1/n_2^2 -> 0$

Isso implica que a equação de Rydberg assumirá a forma

$1/(lamda) = R * (1/n_1^2 - 0)$

$1/(lamda) = R * 1/n_1^2$

que, no seu caso, você receberá

$1/(lamda) = R * 1/1^2$

$1/(lamda) = R$

Reorganizar para resolver o comprimento de onda

$lamda = 1/R$

Conecte o valor que você tem para $R$ para obter

$lamda = 1/(1.097 * 10^(7)color(white)(.)"m") = 9.116 * 10^(-8)$ $"m"$

Agora, para encontrar a energia que corresponde a essa transição, calcule o freqüência, $nu$ , de um fóton que é emitido quando essa transição ocorre usando o fato de que o comprimento de onda e a frequência têm uma relação inversa descrito por esta equação

$color(blue)(ul(color(black)(nu * lamda = c)))$

Aqui

$nu$ is the frequency of the photon

$c$ is the speed of light in a vacuum, usually given as $3 * 10^8$ $"m s"^(-1)$

Reorganize para resolver a frequência e insira seu valor para encontrar

$nu * lamda = c implies nu = c/(lamda)$

$nu = (3 * 10^(8) color(red)(cancel(color(black)("m"))) "s"^(-1))/(9.116 * 10^(-8)color(red)(cancel(color(black)("m")))) = 3.291 * 10^(15)$ $"s"^(-1)$

Finalmente, a energia deste fóton é diretamente proporcional à sua frequência, conforme descrito pelo Relação Planck - Einstein

$color(blue)(ul(color(black)(E = h * nu)))$

Aqui

$E$ is the energy of the photon

$h$ is Planck's constant, equal to $6.626 * 10^(-34)"J s"$

Conecte seu valor para encontrar

$E = 6.626 * 10^(-34)color(white)(.)"J" color(red)(cancel(color(black)("s"))) * 3.291 * 10^(15) color(red)(cancel(color(black)("s"^(-1))))$

$E = 2.181 * 10^(-18)$ $"J"$

Isso significa que, para remover o elétron do estado fundamental de um átomo de hidrogênio no estado gasoso e criar um íon de hidrogênio, é necessário fornecer $2.181 * 10^(-18)$ $"J"$ de energia.

Isso significa que para $1$ átomo de hidrogênio no estado gasoso, você tem

$"H"_ ((g)) + 2.181 * 10^(-18)color(white)(.)"J" -> "H"_ ((g))^(+) + "e"^(-)$

Agora, a energia de ionização de hidrogênio representa a energia necessária para remover $1$ toupeira de elétrons de $1$ toupeira de átomos de hidrogênio no estado gasoso.

Para converter a energia em quilojoules por mole, use o fato de que $1$ toupeira de fótons contém $6.022 * 10^(23)$ fótons como dado pela constante de Avogadro.

Você vai acabar com

$6.022 * 10^(23) color(red)(cancel(color(black)("photons")))/"1 mole photons" * (2.181 * 10^(-18)color(white)(.)color(red)(cancel(color(black)("J"))))/(1color(red)(cancel(color(black)("photon")))) * "1 kJ"/(10^3color(red)(cancel(color(black)("J"))))$

$= color(darkgreen)(ul(color(black)("1313 kJ mol"^(-1))))$

Você pode dizer que, para $1$ toupeira de átomos de hidrogênio no estado gasoso, você tem

$"H"_ ((g)) + "1313 kJ" -> "H"_((g))^(+) + "e"^(-)$

O valor citado para a energia de ionização do hidrogênio é realmente $"1312 kJ mol"^(-1)$ .

Meu palpite seria que a diferença entre os dois resultados foi causada pelo valor que usei para a constante de Avogadro e pelo arredondamento.

$6.02 * 10^(23) -> "1312 kJ mol"^(-1)" vs "6.022 * 10^(23) -> "1313 kJ mol"^(-1)$