Como você diferencia # y = arcsin (x) #?

#y=arcsin(x)#

Antes de prosseguir, precisamos entender exatamente o que estamos procurando. Lembre-se disso:

#y=arcsin(x)# é a função inversa de #y=sin(x)#

Isso pode ser expresso como:

#y=arcsin(x) <=> x=sin(y)#

utilização

#x=sin(y)#

Precisamos nos diferenciar em relação a #x#, portanto, isso precisará ser diferenciado implicitamente.

Lembrando que:

#d/dx(f(y))= (d)/(dy)(f(y))*dy/dx#

#dy/dx(x)=d/(dy)(sin(y))*dy/dx#

#1=cos(y)*dy/dx#

#dy/dx=1/cos(y)#

De cima #y = arcsin(x)#

Substituição em #dy/dx=1/cos(y)#

#:.#

#dy/dx=1/cos(arcsin(x))#

Isso é um pouco estranho, e seria mais fácil se pudéssemos expressar isso de uma maneira diferente.

Usando a identidade pitagórica:

#color(red)(sin^2(y)+cos^2(y)=1)#

#cos(y)=+-sqrt(1-sin^2(y))#

Usando raiz positiva: ( ver abaixo)

#:.#

#dy/dx=1/(sqrt(1-sin^2(y)))#

De cima #x=sin(y)#

Conseqüentemente:

#dy/dx=1/(sqrt(1-x^2)#

#:.#

#dy/dx(arcsin(x))=1/(sqrt(1-x^2)#

Razão para usar a raiz positiva de #sqrt(1-sin^2(y))#

Isto é porque #y=sin(x)# só tem um inverso se restringirmos o domínio a:

#-pi/2 <= x <= pi/2#

In #color(white)(88)1/cos(y)# , #color(white)(88)y# é um ângulo e é um ângulo no intervalo

#-pi/2 <= x <= pi/2#

Esse intervalo está no I e IV quadrantes, onde as razões de cosseno são positivas.