Como você diferencia y = arcsin (x) ?
Responda:
Ver abaixo.
Explicação:
y=arcsin(x)
Antes de prosseguir, precisamos entender exatamente o que estamos procurando. Lembre-se disso:
y=arcsin(x) é a função inversa de y=sin(x)
Isso pode ser expresso como:
y=arcsin(x) <=> x=sin(y)
utilização
x=sin(y)
Precisamos nos diferenciar em relação a x, portanto, isso precisará ser diferenciado implicitamente.
Lembrando que:
d/dx(f(y))= (d)/(dy)(f(y))*dy/dx
dy/dx(x)=d/(dy)(sin(y))*dy/dx
1=cos(y)*dy/dx
dy/dx=1/cos(y)
De cima y = arcsin(x)
Substituição em dy/dx=1/cos(y)
:.
dy/dx=1/cos(arcsin(x))
Isso é um pouco estranho, e seria mais fácil se pudéssemos expressar isso de uma maneira diferente.
Usando a identidade pitagórica:
color(red)(sin^2(y)+cos^2(y)=1)
cos(y)=+-sqrt(1-sin^2(y))
Usando raiz positiva: ( ver abaixo)
:.
dy/dx=1/(sqrt(1-sin^2(y)))
De cima x=sin(y)
Conseqüentemente:
dy/dx=1/(sqrt(1-x^2)
:.
dy/dx(arcsin(x))=1/(sqrt(1-x^2)
Razão para usar a raiz positiva de sqrt(1-sin^2(y))
Isto é porque y=sin(x) só tem um inverso se restringirmos o domínio a:
-pi/2 <= x <= pi/2
In color(white)(88)1/cos(y) , color(white)(88)y é um ângulo e é um ângulo no intervalo
-pi/2 <= x <= pi/2
Esse intervalo está no I e IV quadrantes, onde as razões de cosseno são positivas.
