Como você diferencia y = sin (4x) ?

Isso está na forma básica de sin(x), com a função interna alterada. A derivada de sin(x) is cos(x).

De acordo com regra da cadeia, quando temos uma função dentro de outra função, sua derivada é a derivada da função externa com a função interna ainda dentro, todas multiplicadas pela derivada da função interna.

Então, quando temos alguma outra função dentro da função senoidal, como sin(u), vemos que sua derivada será cosseno com a função interna multiplicada pela derivada da função interna - ou seja, cos(u)xx (o derivado de u).

Matematicamente, isso se torna:

d/dx[sin(u)]=cos(u)*d/dx[u]

Assim, para y=sin(4x), nós vemos que:

dy/dx=cos(4x)*d/dx[4x]=cos(4x)*4=4cos(4x)