Como você encontra a área do paralelogramo com os vértices k (1,2,3), l (1,3,6), m (3,8,6) en (3,7,3)?

A resposta é: #A=sqrt265#.

Existem duas maneiras, a primeira, MUITO LONGA e complicada, a segunda MUITO CURTA e fácil, mas temos que usar o produto vetorial.

O primeiro:

Primeiro de tudo, vamos verificar se a forma é realmente um paralelogramo:

#KL=sqrt((x_K-x_L)^2+(y_K-y_L)^2+(x_K-z_L)^2)=#

#=sqrt((1-1)^2+(2-3)^2+(3-6)^2)=sqrt(0+1+9)=sqrt10#.

#MN=sqrt((3-3)^2+(8-7)^2+(6-3)^2)=sqrt(0+1+9)=sqrt10#.

So #KL=MN#

A direção de #KL# é o vetor #vecv# tais como:

#vecv=(x_K-x_L,y_K-y_L,z_K-z_L)=(0,1,3)#.

A direção de #MN# é o vetor #vecw# tais como:

#vecw=(x_M-x_N,y_M-y_N,z_M-z_N)=(0,1,3)#.

So #vecv# é paralelo a #vecw#.

Então, desde #KL=MN# e #KL# é paralelo a #MN#, a forma é um paralelogramo.

A área de um paralelogramo é: #A=b*h#.

Podemos assumir que a base #b# is #KL=sqrt10#, mas encontrar a altura é mais complicado, porque é a distância das duas linhas #r#, Isso contém #K and L#e #s#, Isso contém #M and N#.

Um plano, perpendicular a uma linha, pode ser escrito:

#a(x-x_P)+b(y-y_P)+c(z-z_P)=0#,

onde #vecd(a,b,c)# é um vetor perpendicular ao plano e #P# é um ponto fundamental que está no plano.

Encontrar #pi#, esse é um plano perpendicular a #r#, podemos assumir que #vecd=vecv# e #P=K#.

Assim:

#pi: 0(x-1)+1(y-2)+3(z-3)=0rArry+3z-11=0#.

Uma linha pode ser escrita como o sistema de três equações na forma paramétrica:

#x=x_P+at#
#y=y_P+bt#
#z=z_P+ct#

onde #P# é um ponto qualquer da linha e #vecd(a,b,c)# é um vetor qualquer, direção da linha.

Encontrar #s#, podemos assumir que #P=M#e #vecd=vecw#.

So #s#:

#x=3+0t#
#y=8+1t#
#z=6+3t#

ou:

#x=3#
#y=8+t#
#z=6+3t#.

Agora, resolvendo o sistema entre #pi# e #s# nós podemos encontrar #Q#, pé da altura conduzida de #K# para #s#.

#y+3z-11=0#
#x=3#
#y=8+t#
#z=6+3t#

#8+t+3(6+3t)-11=0rArr10t=-15rArrt=-3/2#.

Então, para encontrar o ponto #Q#, é necessário colocar #t=-3/2# na equação de #s#.

#x=3#
#y=8-3/2#
#z=6+3(-3/2)#

Assim:

#x=3#

#y=13/2#

#z=3/2#

Agora, para encontrar #h#, podemos usar a fórmula da distância de dois pontos, #K and Q#, apenas visto antes:

#h=sqrt((1-3)^2+(2-13/2)^2+(3-3/2)^2)=sqrt(2^2+(9/2)^2+(3/2)^2)=sqrt(4+81/4+9/4)=sqrt((16+81+9)/4)=sqrt106/2#.

Finalmente a área é:

#A=sqrt10sqrt106/2=sqrt1060/2=sqrt(4*265)/2=sqrt265#.

O segundo.

Podemos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores é um vetor cujo comprimento é a área do paralelogramo que possui os dois vetores como dois lados.

O vetor: #vec(KL)=(0,1,3)#,
o vetor #vec(KM)=(2,6,3)#.

E agora temos que fazer: #vec(KL)xxvec(KM)#

Nós podemos construir a matriz:

primeira linha: #[i,j,k]#,
segunda linha #[0,1,3]#,
terceira fila#[2,6,3]#.

O determinante é o vetor: #-15veci+6vecj-2veck#, e seu comprimento é: #sqrt(225+36+4)=sqrt265# essa é a área solicitada.