Como você encontra a segunda derivada de # y = tan (x) #?

Primeiro encontramos #d/dxtanx#.

Sabemos que #tanx=sinx/cosx#

Para que possamos usar o regra do quociente para resolver isso:

#d/dx(sinx/cosx)=(cosxd/dx(sinx)-sinxd/dx(cosx))/cos^2x#

#color(white)(d/dx(sinx/cosx))=(cosx(cosx)-sinx(-sinx))/cos^2x#

#color(white)(d/dx(sinx/cosx))=(cos^2x+sin^2x)/(cos^2x)=1/cos^2x#

#d/dx(sinx/cosx)=d/dxtanx=sec^2x#

Para agora #d^2/dx^2tanx#ou #d/dxsec^2x#

Que podemos escrever como #d/dx(secx)^2#, que dá:

#2secx(secxtanx)#, Usando o regra da cadeia, onde computamos #d/(du)u^2# e #d/dxsecx#.

Que dá:

#2sec^2xtanx#

Assim:

#d^2/dx^2tanx=2sec^2xtanx#