Como você encontra a série Maclaurin de f (x) = cosh (x) f(x)=cosh(x)?

f(x)=coshx=sum_{n=0}^infty{x^{2n}}/{(2n)!}f(x)=coshx=n=0x2n(2n)!

Vamos ver alguns detalhes.

Já sabemos

e^x=sum_{n=0}^infty x^n/{n!}ex=n=0xnn!

e

e^{-x}=sum_{n=0}^infty {(-x)^n}/{n!}ex=n=0(x)nn!,

então nós temos

f(x)=coshx=1/2(e^x+e^{-x})f(x)=coshx=12(ex+ex)

=1/2(sum_{n=0}^infty x^n/{n!}+sum_{n=0}^infty (-x)^n/{n!})=12(n=0xnn!+n=0(x)nn!)

=1/2sum_{n=0}^infty( x^n/{n!}+(-x)^n/{n!})=12n=0(xnn!+(x)nn!)

uma vez que os termos são zero quando nn é estranho,

=1/2sum_{n=0}^infty{2x^{2n}}/{(2n)!}=12n=02x2n(2n)!

cancelando 22é,

=sum_{n=0}^infty{x^{2n}}/{(2n)!}=n=0x2n(2n)!